3本の棒なのに、三角形ができない理由
3本の辺さえあれば、どんな長さでも三角形になりそうな気がします。
でも実際に長さを決めて並べてみると、いくら角度を変えても、角と角がくっつかないことがあります。
三角形になる組み合わせと、ならない組み合わせがあるんです。
その分かれ目をつくっているのが、「辺の長さのバランス」というきまりです。
今回は、棒を何通りか並べながら、その正体を一緒に整理してみます。
3cm、4cm、8cmの棒を並べてみたら……
長さが3cm、4cm、8cmの3本の棒を用意して、三角形を作ってみます。
いちばん長い8cmの棒を地面に置いて、その両端から3cmと4cmの棒を立ち上げ、上でくっつけようとします。
ところが、3cmと4cmの先っぽは、どこまで角度を変えても出会えません。
てっぺんにすき間が残ったまま、2本を目いっぱい内側に倒しても、あと少しのところで届かないんです。
なぜ届かないのか。最短距離は「直線」だから
届かない理由は、3cmと4cmの棒を真っ直ぐ1本に並べてみるとはっきりします。
すき間なくつなげても、3cm ＋ 4cmで合計は7cmです。
土台の8cmまで、あと1cm足りません。
真っ直ぐ並べてすら届かないのですから、三角の形に折り曲げれば、左右のはばはさらに縮みます。
これでは、8cmの両端をつなぐことはできません。
ある点からある点へ進むとき、いちばん短くなるのは直線です。
8cmの辺を、2つの点を真っ直ぐ結んだ線だと考えてみます。
残りの3cmと4cmは、その2点へ遠回りで向かう線になります。
遠回りの合計が、真っ直ぐな8cmより短くなることはありません。
ちょうど同じ長さだと、三角形ではなく「線」になる
次に、足してちょうど8cmになる組み合わせを試してみます。
3cmと5cmの棒です。
3cm ＋ 5cmは、ぴったり8cmになります。
土台の8cmと、まったく同じ長さです。
今度は3cmと5cmの先っぽが、ちゃんと出会えます。
ただ、出会う場所を見ると、土台の真上に角ができるのではなく、土台にぴたりと重なって、横一直線になってしまいます。
中に囲まれた場所がないので、これは三角形とは呼べません。
ぴったり同じ長さでは、まだ足りないというわけです。
だから三角形になる条件は「同じ」ではなく、「長い辺より長い」でなければいけません。
2辺の合計が長い辺を「超える」と、三角形ができる
最後に、3cmを4cmに取りかえて、4cmと5cmで試してみます。
4cm ＋ 5cmで、合計は9cmです。
土台の8cmより、1cm長くなりました。
すると2本の棒に、土台の上で折れ曲がるゆとりが生まれます。
先っぽ同士は土台の真上でしっかり出会い、形がぴたっと閉じて、三角形になります。
合計が8cmより少しでも長ければ、その分だけ上に高さが出て、てっぺんに角ができます。
ポイント
- 三角形ができるのは、短い2辺の合計が、いちばん長い辺より長いときです。
- 合計がちょうど同じだと、横一直線に重なってしまいます。
- （短い辺 ＋ 短い辺） ＞ （長い辺）、このバランスがそろってはじめて形が閉じます。
まとめ
当たり前のように見ていた三角形ですが、辺の長さには「短い2本を足すと、いちばん長い1本を超える」という、静かなきまりがありました。
足りなければ届かず、ちょうどだと線になり、超えてはじめて三角形になります。
次に三角形を見かけたら、3つの辺の長さをこっそり足し算して、条件を満たしているか確かめてみるのも面白いかもしれません。