上底が3cm、下底が5cm、高さが4cmの台形があります。
台形の面積公式には「（上底 ＋ 下底）」という部分がありますが、なぜ上の辺と下の辺を足すのでしょうか。
今回は、全く同じ台形をもう一つ用意して、向きを変えて並べるところから考えてみます。
同じ台形を2つくっつけてみる
台形の面積を考えるとき、分かりやすいのが「同じ形をもう一つ用意する」というやり方です。
くっつける台形は、裏返したものではなく、180度回したものを使います。
180度回した台形を隣に並べると、斜めの辺どうしがぴったり合わさります。
向かい合う2組の辺がそれぞれ平行になるので、全体が平行四辺形になりました。
平行四辺形に変形して考える
2つの台形をくっつけてできた平行四辺形の底辺に注目してみます。
平行四辺形の底辺は、もとの台形の「上底」と「下底」が合わさった長さです。
今回の例では「3cm ＋ 5cm」で8cmになります。
平行四辺形の面積は「底辺 × 高さ」なので、この大きな図形の面積は「（上底 ＋ 下底） × 高さ」という式で表せます。
なぜ、つなぎ目は「一直線」になるの？
つなぎ目がまっすぐな線になる理由は、角度のきまりで説明できます。
台形はもともと「上底」と「下底」が平行な四角形です。
平行な2本の辺を1本の斜めの辺が横切るとき、その内側にできる同じ側の2つの角（同傍内角（どうぼうないかく））を足すと、必ず180度になります。
向きを逆にした台形をくっつけると、この「足して180度」のペアが隣り合うため、つなぎ目が真っ直ぐな線になります。
公式の「÷2」の意味
ただし、今求めた面積は「台形2つ分」です。
知りたいのは台形1つ分の面積なので、最後に2で割る必要があります。
これが、台形の面積公式が「（上底 ＋ 下底） × 高さ ÷ 2」となっている理由です。
ポイント
- 台形を2つくっつけると平行四辺形になります
- くっつける台形は、裏返しではなく180度回したものを使います
- 平行四辺形の底辺は、台形の「上底 ＋ 下底」の長さです
- 平行線を横切る線の、同じ側にある内側の角を足すと180度になるので、つなぎ目が一直線になります
- 2つ分の面積を出すので、最後に必ず「÷ 2」をします
練習問題
【練習問題】①
上底が4cm、下底が8cm、高さが5cmの台形があります。
この台形の面積は何cm²ですか？
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答え：30cm²
公式の（上底 ＋ 下底）× 高さ ÷ 2にあてはめます。
（4 ＋ 8）× 5 ÷ 2 ＝ 12 × 5 ÷ 2 ＝ 30で、面積は30cm²になります。
【練習問題】②
上底が3cm、下底が7cmの台形があります。
面積が20cm²のとき、高さは何cmですか？
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答え：4cm
上底 ＋ 下底は3 ＋ 7で10cmです。
公式は（上底 ＋ 下底）× 高さ ÷ 2なので、10 × 高さ ÷ 2 ＝ 20という形になります。
10 × 高さが40になればよいので、高さは4cmです。
【練習問題】③
上底が5cm、下底が9cmの台形を、同じ形でもう1つ用意して180度回し、隣にぴったり並べます。
このときできる平行四辺形の底辺は何cmですか？
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答え：14cm
台形を2つ合わせてできる平行四辺形の底辺は、上底と下底をつないだ長さになります。
5 ＋ 9で14cmです。
この14cmが（上底 ＋ 下底）にあたり、求めた面積は台形2つ分なので、最後に2で割ると台形1つ分の面積になります。
発展問題
ここからは、この記事の知識だけでは解けない、少し手数のかかる問題です。
【発展問題】①
下の図のような台形ABCDがあります。上底ADは4cm、下底BCは8cm、高さは6cmです。
下底BC上に点Pをとり、頂点Aと点Pを直線で結びます。
(1) 台形ABCDの面積は何cm²ですか。
(2) 三角形ABPと四角形APCDの面積が等しくなるとき、BPの長さは何cmですか。
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答え：(1) 36cm² (2) 6cm
(1)は公式のあてはめです。
（上底 ＋ 下底）× 高さ ÷ 2 なので、（4 ＋ 8）× 6 ÷ 2 ＝ 36で、36cm²になります。
(2)では、まず分けたあとの面積が分かります。
台形全体が36cm²で、それを2つに等しく分けるので、三角形ABPの面積は36 ÷ 2で18cm²です。
次に、その三角形ABPを底辺と高さで見直します。
底辺をBPとすると、高さは頂点Aから底辺BCまでの長さになります。
上底ADと下底BCは平行なので、AからBCまでの長さは台形の高さと同じ6cmです。図の点線がその高さにあたります。
三角形の面積は「底辺 × 高さ ÷ 2」なので、BP × 6 ÷ 2 ＝ 18という形になります。
BP × 6が36になればよいので、BPは6cmです。
BPが6cmなら残りのPCは2cmになり、点Pはちゃんと下底の上におさまります。
まとめ
台形の公式にある「上底 ＋ 下底」は、2つの台形を合わせたときの底辺の長さを表していました。
「角度が180度になるから真っ直ぐつながる」というルールまでセットで見ると、公式の形がそのまま作業の手順に見えてきます。
なお、台形の面積は高さの真ん中で切って組み替えるやり方でも、同じ公式にたどりつきます。