約数の中から最大公約数を見つける
12の約数（12を割り切れる数）を全部書き出すと、1, 2, 3, 4, 6, 12。18の約数は、1, 2, 3, 6, 9, 18。
この2つを比べると、1・2・3・6の4つはどちらにも入っていますが、4と12は12だけ、9と18は18だけの約数です。
両方に共通する約数を「公約数」、その中でいちばん大きいものを「最大公約数」と呼びます。どうやって見つけるのか、図で整理してみます。
約数を並べて共通を探す
まず、12と18の約数をそれぞれ横に並べてみます。
オレンジ色になっているのが、12にも18にも含まれている約数です。1, 2, 3, 6の4つが共通していて、4と12は12だけ、9と18は18だけに入っています。
この共通の約数が「公約数」です。そして、公約数の中でいちばん大きい数が「最大公約数」になります。ここでは6ですね。
ベン図で公約数を整理する
同じ内容を、ベン図で整理してみます。
左の円が12の約数、右の円が18の約数です。2つの円が重なっている部分に、両方に共通する約数（公約数）が集まっています。
重なりの中を見ると、1, 2, 3, 6の4つ。このうちいちばん大きい6が、12と18の最大公約数です。
ベン図にすると、「どの数が共通で、どの数が片方だけか」がひと目で分かります。
ポイント
- 2つの数に共通する約数を「公約数」と呼びます。
- 公約数の中でいちばん大きいものが「最大公約数」です。
- 約数を全部書き出して並べると、共通するものが見つかります。
倍数の中から最小公倍数を見つける
今度は「倍数」のほうを見てみます。
4の倍数（4に整数をかけてできる数）を順に書くと、4, 8, 12, 16, 20, 24…。6の倍数は、6, 12, 18, 24…。どちらも際限なく続きますが、ところどころで同じ数が現れます。
この共通の倍数が「公倍数」で、いちばん小さいものが「最小公倍数」です。
倍数を並べて共通を探す
4の倍数と6の倍数を、数直線の上に並べてみます。
4の倍数は等間隔で4, 8, 12, 16, 20, 24…と続いています。6の倍数は6, 12, 18, 24…と進んでいきます。
2本の数直線を上下に並べると、12と24のところで位置がそろっています。この「両方に共通する倍数」が公倍数です。
公倍数はこのあとも36, 48…と続いていきますが、いちばん小さいのは12。これが4と6の最小公倍数です。
最小公倍数は、分数のわり算で分母を揃えるときにも使います。分母が違う分数を比べるには、分母を公倍数に揃える必要があるので、そこで最小公倍数が出てきます。
ポイント
- 2つの数に共通する倍数を「公倍数」と呼びます。
- 公倍数の中でいちばん小さいものが「最小公倍数」です。
- 倍数を順に書き出して並べると、最初に重なるところが最小公倍数です。
練習問題
【練習問題】①
8と20の最大公約数を求めてください。
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答え：4
8の約数は 1, 2, 4, 8 です。20の約数は 1, 2, 4, 5, 10, 20 です。
共通する約数（公約数）は 1, 2, 4 で、いちばん大きいのは 4 になります。
【練習問題】②
3と5の最小公倍数を求めてください。
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答え：15
3の倍数は 3, 6, 9, 12, 15… です。5の倍数は 5, 10, 15… です。
最初に重なるのは 15 なので、最小公倍数は 15 です。
【練習問題】③
8と12の最大公約数と最小公倍数をそれぞれ求めてください。
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答え：最大公約数は 4、最小公倍数は 24
8の約数は 1, 2, 4, 8。12の約数は 1, 2, 3, 4, 6, 12 です。公約数は 1, 2, 4 で、いちばん大きい 4 が最大公約数です。
8の倍数は 8, 16, 24…。12の倍数は 12, 24… です。最初に重なる 24 が最小公倍数です。
まとめ
最大公約数は、2つの数の約数を全部書き出して、共通するものの中からいちばん大きいものを選びます。最小公倍数は、倍数を順に書き出して、最初に重なるところを見つけます。
どちらも「全部並べて、共通するものを探す」という手順は同じです。約数なら大きいほうを、倍数なら小さいほうを選ぶ、という違いがあるだけですね。
ベン図や数直線で並べてみると、共通する数がどこにあるのかが見えやすくなります。数が大きくなっても、この「並べて探す」考え方は変わりません。