「下の位」と「数字の合計」で倍数は見分けられる
624 のような数が3の倍数かどうかを知りたいとき、ふつうは3でわってみます。
でも数が大きくなると、わり算そのものが少し面倒になります。
倍数の中には、わり算をしなくても見分けられるものがあります。
見るのは「下の位」か「数字を全部たした合計」のどちらかだけです。
2・3・4・5・9の倍数は、この2つの見方でほとんど判定できます。
ここでは、その見分け方と、なぜそれで分かるのかを一緒に整理してみます。
下の位を見るだけでわかる倍数（2・5・4）
まずは、下の位を見るだけで判定できる倍数からです。
2の倍数・5の倍数・4の倍数は、数字全体を見なくても、下のほうの位だけで見分けられます。
2と5の倍数は「一の位」でわかる
2の倍数は、一の位が 0・2・4・6・8 のどれかになっています。
2の倍数は2でわり切れる数、つまり偶数のことです。
5の倍数は、一の位が 0 か 5 のどちらかです。
たとえば 130 は一の位が0なので、2の倍数でも5の倍数でもあります。
248 は一の位が8なので2の倍数、445 は一の位が5なので5の倍数、と一の位を見るだけで分かります。
4の倍数は「下2けた」でわかる
4の倍数は、一の位だけでは決まりません。
見るのは「下2けた」です。
下2けたが4でわり切れれば、その数は4の倍数です。
たとえば 316 なら、下2けたは 16 で、16は4でわり切れるので4の倍数です。
7924 なら下2けたは 24 で、24も4でわり切れるので4の倍数になります。
530 は下2けたが 30 で、30は4でわり切れないので4の倍数ではありません。
なぜ下の位だけ見ればいいのか
下の位だけで決まるのには理由があります。
10 は、2でも5でもわり切れます。
すると、十の位から上の部分は「10のかたまり」なので、まとめて2の倍数にも5の倍数にもなります。
残るのは一の位だけです。
だから2と5の倍数は、一の位を見れば足ります。
4の場合は少し事情がちがいます。
10 は4でわり切れませんが、100 は4でわり切れます。
百の位から上は「100のかたまり」なので、まとめて4の倍数になります。
残るのは下2けたなので、4の倍数は下2けたを見れば判定できます。
数字を全部たすとわかる倍数（3・9）
3と9の倍数は、下の位を見ても分かりません。
そのかわり、それぞれの位の数字を全部たした合計（各位の和）を見ると判定できます。
3と9の倍数は「各位の和」でわかる
3の倍数は、各位の数字をたした和が3の倍数になっています。
9の倍数は、各位の和が9の倍数になっています。
たとえば 531 は、5＋3＋1＝9 です。
9は3でも9でもわり切れるので、531 は3の倍数でも9の倍数でもあります。
612 なら 6＋1＋2＝9 で、これも和が9なので3の倍数でもあり、9の倍数でもあります。
和が大きいときは、その和をもう一度たしてもかまいません。同じ見方をもう一度使えるからです。
なぜ各位の和でわかるのか
各位の和で分かるのも、下の位のときと同じ考え方です。
234 を例に考えてみます。
234 は、2×100＋3×10＋4 と分けられます。
ここで 100＝99＋1、10＝9＋1 と考えると、234 は 2×(99＋1)＋3×(9＋1)＋4 になります。
それぞれのかっこを計算して分けると、9や99のかたまり (2×99＋3×9) と、もとの数字を集めた (2＋3＋4) に分けられます。
この (2×99＋3×9) の 9 や 99 は、3でも9でもわり切れます。
だから (2×99＋3×9) の部分は、まるごと3の倍数であり9の倍数です。
残るのは (2＋3＋4)、つまり各位の和だけです。
234 の各位の和は 2＋3＋4＝9 で、これが9の倍数なので、234 も9の倍数になります。
けた数が増えても、999 や 9999 が3でも9でもわり切れるので、同じことがいえます。
ポイント
- 2の倍数は一の位が0・2・4・6・8、5の倍数は一の位が0か5です（10が2でも5でもわり切れるため）。
- 4の倍数は下2けたが4でわり切れるかで決まります（100が4でわり切れるため）。
- 3の倍数は各位の和が3の倍数、9の倍数は各位の和が9の倍数です（9や99が3でも9でもわり切れるため）。
練習問題
【練習問題】①
次の数のうち、5の倍数はどれですか。 128、260、435、612
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答え：260と435
5の倍数は一の位が0か5になります。260は一の位が0、435は一の位が5なので5の倍数です。128は一の位が8、612は一の位が2で、どちらも0でも5でもないので5の倍数ではありません。
【練習問題】②
次の数のうち、3の倍数はどれですか。 142、207、531、860
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答え：207と531
3の倍数は、各位の数字をたした和が3の倍数になります。207は2＋0＋7＝9、531は5＋3＋1＝9で、どちらも和が9なので3の倍数です。142は和が7、860は和が14で、どちらも3の倍数ではないので当てはまりません。
【練習問題】③
3けたの数「4□2」が9の倍数になるように、□に入る1けたの数字を答えてください。
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答え：3
9の倍数は、各位の和が9の倍数になります。4＋□＋2は6＋□なので、これが9の倍数になる□を探します。6に3をたすと9になり、9は9の倍数です。6＋□が18になる場合の□は12ですが、1けたの数字ではないので当てはまりません。□に入るのは3です。
まとめ
倍数の見分け方は、「下の位を見る」タイプと「数字を全部たす」タイプの2つに分けられます。
2と5の倍数は一の位、4の倍数は下2けたで判定できます。
これは、10 が2と5で、100 が4でわり切れるからでした。
3と9の倍数は、各位の和が3や9の倍数かどうかで判定できます。
こちらは、9 や 99 が3でも9でもわり切れることが理由になっています。
わり算をせずに倍数が見分けられると、約数や倍数を使う計算のときにも役に立ちます。