平均を長方形にすると、合計が見えてくる
テストの点数で、Aグループは4人で平均80点、Bグループは6人で平均70点だったとします。
この10人を合わせると、平均は何点になるでしょうか。
80と70の真ん中で75点、と言いたくなるところですが、そうはなりません。
人数も平均も、合わせることで変わります。変わらないのは点数の合計で、10人ぶんの合計は、それぞれの合計を足したものと同じです。
なので、まず合計に目を向けます。
たてが平均、よこが人数、面積が合計
平均は、全員の点数をならして同じ高さにそろえた数です。
Aグループは4人で平均80点なので、合計は 80×4＝320点 になります。
これを長方形の形にしてみます。
たての長さを平均の80点、よこの長さを人数の4人にすると、長方形の面積が合計の320点になります。
平均×人数＝合計という関係が、そのまま長方形の形で表れています。
2つのグループを横に並べる
Bグループは6人で平均70点なので、合計は 70×6＝420点 です。
この2つの長方形を、底辺をそろえて横に並べてみます。
右のBのほうが横に長いのは、人数が多いからです。高さが低いのは、平均が低いからです。
2つを合わせた10人の合計は、320＋420＝740点。
10人でわると、740÷10＝74点になります。
80と70の真ん中にならない理由
80と70の真ん中は75点ですが、出てきた答えは74点でした。
真ん中より少し低いのは、人数の多いBグループのほうが、合計に占めるぶんが大きいからです。
面積図で見ると、Bの長方形は高さが低いかわりに横に長く、面積そのものはAより大きくなっています。
平均どうしを足して2でわる計算は、AとBを同じ人数として扱ったときの出しかたです。
人数がちがうときは、この計算では合いません。
飛び出た分とへこんだ分が同じ
出てきた74点のところに、横一直線の線を引いてみます。
Aの長方形は、74点の線から6点ぶん飛び出ています。これが4人ぶんなので、6×4＝24点です。
Bの長方形は、74点の線まで4点ぶん足りていません。これが6人ぶんなので、4×6＝24点です。
飛び出た24点を、へこんだ24点のところへ移すと、全体がちょうど平らになります。
ならすというのは、この移しかえのことだと考えると分かりやすいです。
たての長さも横の長さもちがうのに、広さだけがぴったり同じになる。平均が74点のところに決まるのは、そういう仕組みになっています。
ポイント
- たてを平均、よこを人数にすると、長方形の面積が合計になります。
- 合わせた平均は、それぞれの合計を足して、全体の人数でわると出せます。
- 人数がちがうときは、平均どうしを足して2でわっても答えは合いません。
- 合わせた平均は、飛び出た分とへこんだ分が同じ広さになる高さです。
練習問題
【練習問題】①
Aグループは3人で平均90点、Bグループは7人で平均80点でした。合わせた10人の平均は何点ですか。
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答え：83点
Aの合計は 90×3＝270点、Bの合計は 80×7＝560点です。
合わせると830点になり、10人でわると83点です。
【練習問題】②
5人のグループの平均は72点でした。ここに1人が加わって、6人の平均が74点になりました。加わった人は何点ですか。
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答え：84点
5人のときの合計は 72×5＝360点、6人になったあとの合計は 74×6＝444点です。
ふえた84点が、加わった人の点数です。
面積図で見ると、先の5人を74点にそろえるには2点ずつ、合わせて10点が足りません。加わった人が74点より10点多いことで、その足りない分がうまります。
【練習問題】③
Aグループは3人で平均84点、Bグループの平均は76点です。全体の平均が78点のとき、Bグループは何人ですか。
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答え：9人
78点の高さに線を引いた図を思いうかべると、Aの飛び出た分が、Bのへこんだところへ移る形になります。
Aは78点より6点高いので、飛び出た分は 6×3＝18点です。
Bは78点より2点低いので、へこんだ分は1人あたり2点になります。
18÷2＝9で、Bグループは9人です。
発展問題
ここからは、この記事の知識だけでは解けない、少し手数のかかる問題です。
【発展問題】①
あるクラスで算数のテストをしたところ、男子の平均は72点、女子の平均は80点、クラス全体の平均は75点でした。
(1) 男子と女子の人数の比を、いちばん簡単な整数の比で答えてください。
(2) クラスの人数が40人のとき、女子の点数の合計は何点ですか。
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答え：(1) 5：3 (2) 1200点
(1) 人数が分からないので、ここでは合計を出せません。手がかりになるのは、全体の平均75点の高さに線を引いた面積図です。
男子は75点より3点低く、女子は75点より5点高くなっています。
全体をならすと75点になるので、女子の飛び出た分と、男子のへこんだ分は同じ広さです。
広さが同じ長方形では、たてが3と5なら、よこの長さは反対の5と3になります。3×5も5×3も、どちらも15になるからです。
よこは人数なので、男子と女子の人数の比は5：3です。たての比を入れかえたこの比は、逆比とよばれます。
(2) (1)の5：3を使って、40人を比例配分します。
5＋3＝8、40÷8＝5なので、比の1にあたるのは5人です。
女子は 3×5＝15人で、点数の合計は 80×15＝1200点です。
男子は25人で合計1800点になり、あわせた3000点を40人でわると75点で、全体の平均とも合っています。
まとめ
平均を長方形の面積として見ると、合計・人数・平均の関係が1枚におさまります。
2つのグループを合わせるときは、それぞれの合計を足して、全体の人数でわると出せます。
そして、飛び出た分とへこんだ分が同じ広さになる高さが、合わせた平均になります。
同じ形の面積図は、食塩水を混ぜる濃度算でも出てきます。混ぜる前と後をくらべる見かたは、平均のならしかたとよく似ています。