文章題を整理する3つの図
あめが合わせて10個あって、兄は弟より2個多い。文章で読むと、数どうしの関係が頭の中でこんがらがってきます。
ところが、この文章を線の長さに置きかえると、どこが差でどこが合計なのかが一目で見えるようになります。
数の関係そのものは何も変わっていないのに、文字を図に置きかえるだけで、急に整理しやすくなるんです。
この記事では、文章題を整理する代表的な3つの図、線分図・面積図・ベン図をまとめてみました。
線分図：「和」と「差」が長さで見える
線分図は、数を線の長さに置きかえる図です。兄と弟の線を左端をそろえて並べると、兄の線が弟からはみ出します。
このはみ出した部分が「2個多い」にあたり、2本をまとめたかっこが「合わせて10個」にあたります。
文章の中に散らばっていた「合わせて」と「多い」が、線の上では長さのちがいとして同じ場所に並びます。
たし算・ひき算の関係、つまり「和」と「差」が出てくる問題と相性のいい図です。
面積図：かけ算の関係が長方形で見える
面積図は、かけ算の「1つ分×いくつ分」を長方形に置きかえる図です。
1個50円のあめを6個買うとき、たてを1個のねだん、よこを個数にすると、長方形の面積が代金にあたります。
長方形の面積がたて×よこで求められることを、そのまま数の関係に当てはめている形です。
この図では、50×6＝300円という式が、長方形の広さとして目に見えるようになります。「1つ分×いくつ分」の形になる問題と相性のいい図です。
ベン図：グループの重なりが見える
犬を飼っている人が8人、猫を飼っている人が5人、両方飼っている人が2人いるとします。
ここで8＋5＝13人と計算すると、両方飼っている2人を二重に数えてしまいます。
ベン図は、グループを円で表して、重なりを見えるようにする図です。円が重なった部分が「両方」の2人にあたります。
犬の円8人の中に両方の2人がふくまれているので、犬だけ飼っている人は8−2＝6人と分かります。「両方」「どちらも」のような重なりが出てくる問題と相性のいい図です。
ポイント
3つの図の使い分け
- 「合わせて」「差」が出てくる → 線分図（長さで比べる）
- 「1つ分×いくつ分」が出てくる → 面積図（長方形で見る）
- 「両方」「どちらも」が出てくる → ベン図（重なりを見る）
練習問題
【練習問題】①
姉と妹が持っているカードの合計は16枚です。姉が持っているカードが妹よりも2枚多いとき、姉と妹が持っているカードはそれぞれ何枚ですか？
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答え：姉は9枚、妹は7枚です。
線分図にすると、姉の線が妹より2枚分だけ長くなります。この多い2枚を合計から取りのぞくと、2本は同じ長さになり、16−2＝14枚です。14÷2＝7枚が妹の分で、姉はそれより2枚多い7＋2＝9枚です。
【練習問題】②
1mのねだんが80円のリボンを9m買います。代金はいくらですか？
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答え：720円です。
たてを1mのねだん80円、よこを長さ9mの長方形にすると、面積が代金にあたります。80×9＝720円です。
【練習問題】③
クラスでアンケートを取ったところ、サッカーが好きな人は7人、野球が好きな人は6人、両方好きな人は3人でした。サッカーだけが好きな人は何人ですか？
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答え：4人です。
ベン図にすると、サッカーの円の7人の中に、両方好きな3人がふくまれていることが見えます。7−3＝4人です。
発展問題
ここからは、この記事の知識だけでは解けない、少し手数のかかる問題です。
【発展問題】①
35人のクラスで、ピアノを習っている人はスイミングを習っている人より5人多く、両方を習っている人は4人、どちらも習っていない人は8人です。
(1) ピアノかスイミングを習っている人は何人ですか？（両方を習っている人もふくみます）
(2) ピアノだけを習っている人は何人ですか？
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答え：(1) 27人、(2) 14人です。
手がかりになるのは「どちらも習っていない8人」です。この8人は、ピアノの円にもスイミングの円にも入りません。クラス全体35人からこの8人を取りのぞいた残りが、ピアノかスイミングを習っている人にあたるので、35−8＝27人です。
(2)で聞かれているのは、ピアノの円から重なりの4人を取りのぞいた部分です。そのためには、ピアノを習っている人が何人なのかを先に出す必要があります。
ピアノの人数とスイミングの人数をそのまま足すと、両方を習っている4人を2回数えることになります。その分だけ27人より多くなるので、27＋4＝31人が、ピアノとスイミングの人数を足した数です。
これで「合わせて31人」「ピアノが5人多い」の2つがそろい、和と差から2つの数を出す形になります。
線分図にすると、ピアノの帯がスイミングより5人分長くなります。この5人分を合計から取りのぞくと2本は同じ長さになり、31−5＝26人です。26÷2＝13人がスイミングを習っている人で、ピアノはそれより5人多い13＋5＝18人です。
ピアノだけを習っている人は、この18人から両方の4人を取りのぞいて、18−4＝14人です。
まとめ
文章題は、文字のままにらんでいても、数の関係がなかなか見えてきません。「合わせて」と「差」は線分図で長さに、「1つ分×いくつ分」は面積図で長方形に、「両方」はベン図で重なりに置きかえると、関係がそのまま目に見える形になります。
面積図は、分数のわり算や分配法則を考えるときにも同じ形で登場します。この先の和差算やつるかめ算といった文章題でも、この3つの図が整理の土台になります。まずは問題文を読んだら、長さ・長方形・重なりのどれで表せそうかを考えてみてください。