上り・下りの速さをグラフで見える化する
川の流れがある中を船が進む場面を考えてみます。
同じ船なのに、下りは速く進み、上りは遅くなります。
船そのものの力は変わっていません。変わっているのは、流れが船の進む向きに加わるか、逆向きに加わるかだけです。
この「川の流れがあるときの速さ」を扱う問題を、流水算と呼びます。
下りと上りの速さの違いをダイヤグラムに描くと、線の傾きの差として目に見えるようになります。
その仕組みを順番に見ていきます。
流れがあると、速さが足し引きされる
流れのない水面を「静水」と呼びます。
この船が静水の上を進む速さが、時速12kmだとします。静水のときの速さなので、「静水時の速さ」と呼びます。
ここに、時速3kmの川の流れが加わるとどうなるでしょうか。
下りでは、船が進む向きと流れの向きが同じです。
船の力に流れの力がそのまま加わるので、速さは12＋3＝時速15kmになります。
上りでは、船が進む向きと流れの向きが逆です。
流れに逆らうぶんだけ遅くなるので、速さは12−3＝時速9kmになります。
下りの速さ ＝ 静水時の速さ ＋ 流れの速さ
上りの速さ ＝ 静水時の速さ − 流れの速さ
棒の長さで見ると、この関係がよく分かります。
流れの速さのぶんだけ、下りは棒が長くなり、上りは短くなっています。
ダイヤグラムに描くと傾きが変わる
この下り（時速15km）と上り（時速9km）を、ダイヤグラムに描いてみます。
下りの線は急なかたむきで、上りの線はゆるやかです。
ダイヤグラムでは、線の傾きが急なほど速いということでした。
同じ船でも、流れの向きが変わるだけで、グラフの線の傾きがこれだけ変わります。
5時間後の到達地点を読み取ると、下りは15×5＝75km、上りは9×5＝45kmです。
同じ時間で進んでいるのに、30kmもの差が出ています。
下りと上りから、静水時の速さと流れの速さを出す
ここまでは、静水時の速さと流れの速さが先に分かっている状態から、下り・上りの速さを出しました。
でも実際の問題では、逆のパターンがよく出てきます。
「下りの速さは時速15km、上りの速さは時速9km。静水時の速さと流れの速さは？」という形です。
さっきの棒の図に戻って考えてみます。
下りの棒は「静水＋流れ」、上りの棒は「静水−流れ」でした。
この2本を足してみます。
＋流れと−流れが打ち消し合って、静水時の速さの2つぶんだけが残ります。
15＋9＝24、24÷2＝12。静水時の速さは時速12kmです。
今度は、2本の差を出してみます。
静水の部分が消えて、流れの速さの2つぶんが残ります。
15−9＝6、6÷2＝3。流れの速さは時速3kmです。
整理すると、こうなります。
静水時の速さ ＝（下りの速さ ＋ 上りの速さ）÷ 2
流れの速さ ＝（下りの速さ − 上りの速さ）÷ 2
もとの数値（静水12・流れ3）とぴったり一致しています。
ポイント
- 下りの速さ ＝ 静水時の速さ ＋ 流れの速さ、上りの速さ ＝ 静水時の速さ − 流れの速さ です。
- 静水時の速さ ＝（下りの速さ ＋ 上りの速さ）÷ 2 で求められます。
- 流れの速さ ＝（下りの速さ − 上りの速さ）÷ 2 で求められます。
- ダイヤグラムに描くと、下りは急な線、上りはゆるやかな線になり、速さの違いが傾きに現れます。
練習問題
【練習問題】①
ある船の下りの速さは時速20km、上りの速さは時速12kmです。静水時の速さと、川の流れの速さをそれぞれ求めてください。
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答え：静水時の速さは時速16km、流れの速さは時速4kmです。
（20＋12）÷2＝16なので、静水時の速さは時速16kmになります。
（20−12）÷2＝4なので、流れの速さは時速4kmになります。
【練習問題】②
ある船が川を36km下るのに2時間、同じ36kmを上るのに3時間かかりました。静水時の速さと、川の流れの速さをそれぞれ求めてください。
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答え：静水時の速さは時速15km、流れの速さは時速3kmです。
下りの速さは36÷2＝時速18km、上りの速さは36÷3＝時速12kmです。
（18＋12）÷2＝15で、静水時の速さは時速15kmになります。
（18−12）÷2＝3で、流れの速さは時速3kmになります。
同じ36kmを進んでいるので、速さの比18：12＝3：2と時間の比2：3が逆の関係になっています。
発展問題
ここからは、この記事の知識だけでは解けない、少し手数のかかる問題です。
【発展問題】①
ある船が、川ぞいのA町とB町の間を往復しました。下るのに2時間、上るのに3時間かかりました。川の流れの速さは時速2kmです。
(1) この船の下りの速さと上りの速さを、それぞれ求めてください。
(2) A町とB町の間の道のりは何kmですか。
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答え：(1) 下りは時速12km、上りは時速8km (2) 24km
まず目を付けるのは、行きも帰りも同じ道のりを進んでいるところです。
同じ道のりを進むとき、速さの比とかかる時間の比は逆の関係になります。時間の比が2：3なので、下りと上りの速さの比は3：2です。
次に、下りと上りの差を見ます。下りは静水時の速さに流れを足したもの、上りは引いたものなので、2つの差は流れの2つぶんです。流れが時速2kmなので、差は時速4kmになります。
比の3と2の差は1つぶんです。この1つぶんが時速4kmにあたるので、下りは4×3で時速12km、上りは4×2で時速8kmになります。
静水時の速さは（12＋8）÷2＝時速10km、流れの速さは（12−8）÷2＝時速2kmとなり、問題の条件と合っています。
(2)は、下りの速さと時間を使います。時速12kmで2時間下ったので、12×2＝24kmです。上りで確かめても、8×3＝24kmで一致します。
【発展問題】②
川の上流にあるA地点と、下流にあるB地点は32kmはなれています。
A地点からはB地点に向かって、静水時の速さが時速9kmの船が出発します。同時に、B地点からはA地点に向かって、静水時の速さが時速7kmの船が出発します。川の流れの速さは時速3kmです。
2そうの船が出会うのは、出発してから何時間後ですか。
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答え：2時間後です。
先に、2そうの船が実際に進む速さを出します。
A地点の船は流れと同じ向きに進むので下りです。9＋3＝時速12kmになります。
B地点の船は流れに逆らって進むので上りです。7−3＝時速4kmになります。
2そうは向かい合って進んでいるので、船と船の間の道のりが1時間ごとに12＋4＝16kmずつちぢみます。旅人算の出会いと同じ考え方です。
32kmを16kmずつちぢめていくので、32÷16＝2時間後に出会います。
ここで足した12＋4は、（9＋3）＋（7−3）と同じです。＋3と−3が打ち消し合うので、結局9＋7と変わりません。向かい合って進む2そうの船が近づく速さは、流れがあってもなくても、静水時の速さの和のままになります。
まとめ
流水算は、川の流れがあると船の速さがどう変わるかを扱う問題です。
下りでは流れの速さがプラスされ、上りではマイナスされます。
棒の図で見ると、この足し引きは棒の長さの違いとしてすぐに分かります。
ダイヤグラムに描けば、下りは急な線、上りはゆるやかな線になり、速さの差が傾きに現れます。
下りと上りの速さが分かっているときは、足して2で割れば静水時の速さ、引いて2で割れば流れの速さが出ます。
流水算に出てくる計算自体はシンプルですが、「なぜ足すのか」「なぜ引くのか」を棒とグラフで一度見ておくと、公式をただ当てはめるよりも納得しやすくなります。