配る数を変えると、あまりと不足の差はどこから生まれるか
6人の子どもに、みかんを配る場面を考えます。
1人5個ずつ配ると3個あまり、1人7個ずつ配ると9個足りません。
配る個数を5個から7個に増やしたことで、あまりが不足に変わりました。
子どもの人数も、みかんの総数も、どちらも変わっていません。
変わったのは1人に配る数だけなので、あまりが不足に変わったのも、そこから生まれています。
こうした、配り方を変えたときに出てくるあまりと不足から、人数や総数を求める考え方を、差集め算といいます。
1人分を増やすと、あまりと不足はどう変わるか
5個ずつ配ると、6人ぶんで30個使うことになり、3個あまります。
同じみかんを7個ずつ配ろうとすると、6人ぶんで42個必要になり、9個足りません。
2つの図で、みかんの数はどちらも33個のままです。
変えたのは1人に配る数だけで、5個から7個に増やすと、1人につき2個多く必要になります。
その差を人数分集めると、全体の差になる理由
1人あたりの差は、7個－5個で2個です。
この2個は、配る数を増やしたことで、1人につき余分に必要になった分です。
これが6人ぶん集まると、2個×6人で12個になります。
みかん全体のほうを見ると、あまっていた3個は配りきられ、そのうえで9個足りなくなりました。
あまり3個と足りない9個を合わせた12個が、全体で増えた分です。
1人あたりの差を6人ぶん集めた12個と、ちょうど同じ数になります。
なので、12個を2個ずつに分けると、何人分になるかが分かります。
12÷2＝6なので、人数は6人です。
人数が6人と分かったので、みかんの総数も求められます。
5個ずつ配ると3個あまるので、5個×6人＋3個で33個です。
7個ずつで確かめても、7個×6人－9個で33個になり、同じ数になります。
こうして条件をそろえて考える流れは、つるかめ算・消去算で面積図をそろえる考え方とも似ています。
ポイント
- 配る数を変えると、あまりが不足に変わることがあります。
- 1人あたりの差×人数は、あまりと不足を合わせた数と等しくなります。
- この関係から人数や総数を求める方法が、差集め算です。
練習問題
【練習問題】①
あめを何人かの子どもに配ります。1人4個ずつ配ると2個あまり、1人6個ずつ配ると6個足りません。子どもは何人ですか。
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答え：4人
1人あたりの差は2個です。あまりと不足を合わせると2個＋6個で8個になります。8個を2個で割ると4人になります。
【練習問題】②
えんぴつを何人かに配ります。1人5本ずつ配ると3本あまり、1人8本ずつ配ると9本足りません。えんぴつは全部で何本ですか。
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答え：23本
1人あたりの差は3本です。あまりと不足を合わせると3本＋9本で12本になります。12本を3本で割ると4人になります。5本×4人＋3本で23本になります。
【練習問題】③
折り紙を何人かに配ります。1人6枚ずつ配ると10枚あまり、1人9枚ずつ配ると1枚あまります。子どもは何人ですか。
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答え：3人
この問題はどちらもあまる場合です。1人あたりの差は3枚で、あまりの差は10枚－1枚で9枚になります。9枚を3枚で割ると3人になります。
発展問題
ここからは、この記事の知識だけでは解けない、少し手数のかかる問題です。
【発展問題】①
長いすに子どもが座ります。1脚に4人ずつ座ると、6人が座れません。1脚に6人ずつ座ると、最後の1脚には2人だけが座り、さらに1脚が空きます。
(1) 全部の長いすに6人ずつ座るには、あと何人いればよいですか。
(2) 長いすは何脚ありますか。また、子どもは何人いますか。
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答え：(1) 10人 (2) 長いすは8脚、子どもは38人
(1) 6人ずつ座るときは、空いている席に目を向けます。
2人だけ座った最後の1脚には、空いている席が6席－2席で4席あります。
そのあとの1脚はだれも座っていないので、6席すべてが空いています。
空いている席は4席＋6席で10席なので、全部の長いすに6人ずつ座るには、あと10人いればよいです。
(2) (1)で空いた席を数えたので、6人ずつ座る場合は「10人足りない」と言いかえられます。
すると、4人ずつなら6人あまり、6人ずつなら10人足りない、という形になります。
1脚あたりに座る人数の差は、6人－4人で2人です。
あまりの6人と足りない10人を合わせると、6人＋10人で16人になります。
1脚につき2人ずつ多く座る分が、全部の長いすを合わせて16人ぶんになるので、長いすは16÷2で8脚です。
子どもの数は、4人ずつのほうで考えると、4人×8脚＋6人で38人です。
6人ずつのほうでたしかめても、6人×8脚－10人で38人になり、ぴったり合います。
空いている席を数えて「足りない人数」に置きかえる考え方は、過不足算の長いすの問題でも使われています。
まとめ
差集め算は、配り方が変わったときにできる「変化した分」に注目して、人数や総数を求める考え方です。
配り方が2通り書かれていて、あまりや不足が出てくる問題は、この考え方が使えます。
不足する場合も、今回の練習問題③のようにどちらもあまる場合も、同じように差を見て考えることができます。
長いすに人を座らせる場面で考える過不足算も、あまりと不足を手がかりにする点は同じです。
和差算・分配算や倍数算と同じように、条件をそろえて図に整理すると、数の関係が見えやすくなります。