偶数と奇数は「ペアが作れるか」で見分けられる
1個、2個、3個…と数えたものを、2個ずつのペアに分けていくと、きれいに分かれる数と、1個だけあまる数があります。
たとえば8個はぴったり4組に分かれますが、7個は3組作ると1個だけ残ります。
同じ「2個ずつ組にする」というやり方でも、あまりが出るか出ないかで、数は2つの仲間に分かれます。
あまりが出ない数を偶数、1個あまる数を奇数といいます。
「あまり」に注目して偶数と奇数を見分ける
偶数はペアがぴったり、奇数は1個あまる
もう一度、数を2個ずつのペアにするところから見てみます。
8のように、最後まできれいにペアが作れる数が偶数です。
7のように、ペアを作っていくと最後に1個だけ残る数が奇数です。
残った1個は、どうやってもペアの相手が見つかりません。
たとえば6は3組できてぴったり、9は4組作ると1個あまります。
数が大きくなっても、この見分け方は変わりません。
「2で割ったあまり」で見分けられる
2個ずつ組にすることは、2で割ることと同じです。
偶数は2で割るとあまりが0、奇数は2で割るとあまりが1になります。
どんな偶数も「ペアがいくつか集まったもの」、どんな奇数も「ペアがいくつか集まって、そこに1個あまったもの」と考えられます。
偶数は2でぴったり割り切れるので、2の倍数でもあります。
奇数どうしを足すとなぜ偶数になるのか
あまりの1どうしが新しいペアになる
ここで、はじめの疑問にもどります。
奇数と奇数を足すと、答えはいつも偶数になります。
その理由は、奇数の形にあります。
奇数は「ペア＋1」の形
奇数はどれも「ペアがいくつか＋あまり1個」という形をしています。
たとえば5は2組のペアと1個、3は1組のペアと1個です。
この2つを足すと、ペアはそのまま集まり、あまっていた1個どうしがちょうど組になって、新しいペアが1つできます。
あまりがなくなって全部ペアになったので、答えは偶数です。
実際に5＋3＝8で、8は4組にきれいに分かれる偶数です。
7と9でも同じで、7は3組と1個、9は4組と1個です。
あまっていた1どうしが組んで、答えの16は8組にきれいに分かれる偶数になります。
ほかの組み合わせもあまりで決まる
同じ考え方で、ほかの組み合わせも答えの見当がつきます。
偶数はあまり0、奇数はあまり1でした。
足し算の答えが偶数か奇数かは、この「あまり」を足すだけで決まります。
偶数＋偶数は、あまり0＋0＝0なので偶数です。
偶数＋奇数は、あまり0＋1＝1なので奇数です。
奇数＋奇数は、あまり1＋1で、その1どうしが新しいペアになってあまりが0にもどるので偶数です。
数そのものを計算しなくても、あまりが0か1かを見るだけで、答えが偶数か奇数かが先に分かります。
ポイント
- 偶数は2個ずつのペアがぴったり（2で割るとあまり0）、奇数はペアのほかに1個あまります（あまり1）。
- 奇数どうしを足すと、あまっていた1と1が組んで新しいペアになるので、答えは偶数になります。
- 答えが偶数か奇数かは、あまり（0か1）を足すだけで決まります。
練習問題
【練習問題】①
次の数のうち、奇数はどれですか。 14、23、40、57
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答え：23と57
2個ずつのペアにしたとき、1個あまる数が奇数です。14と40はペアがぴったりで偶数、23と57は1個あまるので奇数になります。
【練習問題】②
奇数どうしを足すと、答えは偶数と奇数のどちらになりますか。
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答え：偶数
奇数は「2個ずつのペア＋あまり1個」の形です。奇数どうしを足すと、あまりの1と1が組んで新しいペアになるので、全部ペアになって偶数になります（例：7＋9＝16）。
【練習問題】③
奇数を3つ足すと、答えは偶数と奇数のどちらになりますか。
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答え：奇数
奇数を2つ足すと、あまりの1どうしが組んで偶数になります。そこにもう1つ奇数を足すと、あまりの1が1個だけ残るので、答えは奇数になります（例：1＋3＋5＝9）。
発展問題
ここからは、この記事の知識だけでは解けない、少し手数のかかる問題です。
【発展問題】①
(1) 1＋2＋3＋…＋10 の答えは、偶数と奇数のどちらですか。
(2) 1＋2＋3＋…＋100 の答えは、偶数と奇数のどちらですか。
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答え：(1) 奇数 (2) 偶数
まず見るのは、足す数の中の偶数と奇数です。偶数は2で割ったあまりが0なので、いくつ足しても答えのあまりは変わりません。答えが偶数か奇数かは、奇数がいくつあるかだけで決まります。
(1) 1から10までの奇数は、1、3、5、7、9の5個です。奇数を2個ずつ組にすると、あまりの1と1が組んで新しいペアになります。5個だと2組できて、あまりの1が1個だけ残るので、答えは奇数です。実際に足すと55で、奇数になっています。
(2) 1から100までは、偶数と奇数が1つおきに並んでいるので、奇数は100個の半分の50個です。50個の奇数は25組にぴったり分かれて、あまりの1が残りません。答えは偶数です。実際に足した答えは5050で、この合計の出し方は1から100まで全部足すといくつ？階段を長方形に直して考えるで紹介しています。
このやり方でいいのは、足し算の答えの偶奇が「あまりの0と1を足したもの」で決まるからです。偶数のあまり0は何も足さないのと同じなので、奇数のあまり1が偶数個あるか奇数個あるかを見れば足ります。
まとめ
数を2個ずつのペアに分けると、ぴったり分かれるのが偶数、1個あまるのが奇数でした。
奇数は「ペア＋1個」の形なので、奇数どうしを足すと、あまっていた1どうしが組んで新しいペアになり、答えは偶数になります。
偶数と奇数の足し算は、数そのものではなく「2で割ったあまりが0か1か」を見ると、答えの仲間が先に分かります。