へこんだ四角形の角は、補助線1本で三角形2つに分けて考えられます
点が4つ、辺が4本。数だけ見ると、ふつうの四角形とまったく同じです。
ちがうのは点Dの位置で、Dだけが形の内側に入りこんでいます。
そのため、Dのところは外側にとがらず、内側にへこんだ形になります。
点の数も辺の数も変わっていないのに、1か所だけ向きが逆になっている形です。
この形はブーメラン型と呼ばれます。今回は、へこんだ点Dのところにできる角を追いかけてみます。
ブーメラン型はどんな形をしているのか
外側の3つの角には、40°・35°・25°が入っています。
求めたいのは、へこんだ点Dのところにできる㋐です。
㋐は、形の内側にある角ではありません。へこんだところの外側に開いている角で、点Bと点Cのほうを向いています。
三角形なら、内角の和が180°と決まっているので、2つ分かれば残りの1つが出ます。
ブーメラン型は、そのままでは同じようにいきません。角が4つある上に、1つだけ内側にへこんでいるからです。
補助線を1本引くと三角形が2つ見えてくる
そこで、点Aと点Dを通る線を引いて、Dの先までのばします。
線を1本足しただけですが、ブーメラン型が三角形ABDと三角形ACDの2つに分かれました。
青いほうが三角形ABD、オレンジのほうが三角形ACDです。
Dより先にはみ出した部分は、どちらの三角形にも入っていません。この部分があることで、㋐も2つの角に分かれます。
外角の決まりを、上と下で1回ずつ使う
のばした線は、㋐も2つに分けます。左が㋑、右が㋒です。
まず、三角形ABDを見ます。㋑は、辺ADをDの先までのばしたときにできた角なので、この三角形の外角にあたります。
外角の決まり（スリッパの法則）では、外角はとなり合わない2つの内角を足した大きさになります。
三角形ABDでとなり合わないのは、Aの角の左半分と、Bの35°です。図で青くなっている2つです。
㋑ ＝ Aの角の左半分 ＋ 35°
同じことを、三角形ACDでも行います。
㋒はこの三角形の外角で、となり合わないのはAの角の右半分と、Cの25°です。図でオレンジになっている2つです。
㋒ ＝ Aの角の右半分 ＋ 25°
合わせると、へこんだ角は外側の3つの角の和になる
㋐は、㋑と㋒を合わせた角です。なので、さっきの2つを足します。
㋐ ＝ （Aの角の左半分 ＋ 35°） ＋ （Aの角の右半分 ＋ 25°）
ここで、Aの角の左半分と右半分を合わせると、もとのAの角に戻ります。40°です。
㋐ ＝ 40° ＋ 35° ＋ 25° ＝ 100°
数字が変わっても、流れはそのまま使えます。
補助線を1本引けば三角形が2つでき、外角の決まりを2回使うだけで、へこんだところの角が外側の3つの角の合計として出てきます。
ポイント
- ブーメラン型は、点1つだけが内側に入りこんだ四角形です。
- とがった点とへこんだ点を通る線をのばすと、三角形が2つできます。
- へこんだところの角はその線で2つに分かれ、それぞれが三角形の外角になります。
- へこんだところの角 ＝ 外側の3つの角の合計になります。
練習問題
【練習問題】①
下の図で、㋐は何度ですか？
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答え：100°
へこんだところの角は、外側の3つの角を足した大きさになります。50＋30＋20で100°です。
【練習問題】②
下の図で、㋐は何度ですか？
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答え：45°
へこんだところの角120°は、外側の3つの角を足した大きさです。分かっている45°と30°を引くと、残りの1つが出ます。120−45−30で45°です。
【練習問題】③
下の図で、㋐は何度ですか？
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答え：120°
形の向きが変わっても、へこんだところの角は外側の3つの角を足した大きさになります。60＋35＋25で120°です。
発展問題
ここからは、この記事の知識だけでは解けない、少し手数のかかる問題です。
【発展問題】①
下の図で、三角形ABCの角Bは線BDで、角Cは線CDで、それぞれ半分ずつに分けられています。
(1) ○の角と×の角を1つずつ足すと、何度になりますか？
(2) ㋐は何度ですか？
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答え：(1) 55° (2) 125°
(1) まず見るのは、角Aの70°です。
三角形の内角の和は180°なので、角Bと角Cを合わせると、180−70で110°になります。
角Bは○が2つ、角Cは×が2つでできています。○2つと×2つを合わせて110°ということです。
○と×を1つずつにすると、その半分なので、110÷2で55°です。
角Bと角Cがそれぞれ何度かは分からなくても、2つの合計が分かれば、ここまで進められます。
(2) 次は、三角形DBCを見ます。
この三角形のBのところの角は○1つ、Cのところの角は×1つです。(1)で、○の角と×の角を1つずつ足すと55°だと分かっています。
三角形DBCの内角の和も180°なので、㋐は180−55で125°です。
同じ図を、ブーメラン型ABDCとして見ることもできます。へこんだところの角は外側の3つの角を足した大きさなので、㋐は70＋55で125°です。
どちらの見方でも125°になるので、答えが合っていることも確かめられます。
まとめ
ブーメラン型のへこんだところの角は、外側の3つの角を全部足した大きさになります。
使ったのは、補助線1本と、外角の決まりを2回だけです。
- とがった点とへこんだ点を通る線をのばすと、三角形が2つに分かれます。
- へこんだところの角は、その2つの三角形の外角に分かれます。
- 合わせると、外側の3つの角の合計になります。
- 形の向きが変わっても、同じ手順で求められます。
角が4つある形でも、三角形に分けてしまえば、知っている決まりだけで進められます。