1から100まで、順番に足していくのは大変です
1から100までの数を全部足すと、いくつになるでしょうか。
1＋2＝3、3＋3＝6、6＋4＝10…と進めていけば、いつかは答えにたどり着きます。ですが、足し算の回数は99回です。
ここで変えられるのは、足す順番ではなく、数の並べ方のほうです。
数そのものは何も変わりません。並べ方を変えると、順番に足さなくても合計が出せる形が見えてきます。
数をたての高さにして並べると階段になる
まず、それぞれの数を「高さ」に置きかえてみます。
同じ大きさのマスを、1のところに1個、2のところに2個、3のところに3個…と積み上げていきます。
左から順に並べると、右上がりの階段になりました。
このマスを全部合わせた数が、1から10までを足した答えです。
100まで並べると横に長くなりすぎるので、ここでは1から10までで見ていきます。10でつかめた仕組みは、100でもそのまま使えます。
同じ階段をもう1つ、さかさまにして重ねる
次に、この階段とまったく同じものを、もう1つ用意します。
それを上下さかさまにして、上から重ねます。
階段のでこぼこがちょうど埋まって、全体が長方形になりました。
下の青がもとの階段、上のオレンジがさかさまにした階段です。
いちばん左の列は、下が1で上が10なので、合わせて11。
その次の列は、下が2で上が9なので、やはり11です。
片方が1つ増えると、もう片方が1つ減るので、どの列も合計は11のまま変わりません。
長方形の中のマスは11×10個
長方形になったので、マスの数は1個ずつ数えなくても出せます。
たてが11、よこが10なので、11×10＝110個です。
ただし、この110個は階段2つ分の数です。
もとの階段1つ分は、その半分になります。
110÷2＝55
1から10までを足すと55、と出ました。1＋2＋3＋…と順番に足しても、同じ55になります。
100までも、やることは変わりません
同じ手順を、100まででやってみます。
100本の列を実際に描く必要はありません。列が100本あることと、どの列も同じ数になることが分かれば十分です。
1から100までの階段と、それをさかさまにした階段を重ねます。
いちばん左の列は1と100で101、その次は2と99で101、その次は3と98で101です。
どの列も101になり、列は全部で100本あります。
101×100＝10100
これは階段2つ分なので、2でわって、もとの階段1つ分にもどします。
10100÷2＝5050
1から100までを全部足すと5050です。99回の足し算をしなくても、かけ算とわり算だけで出せました。
この式は台形の面積の出し方と同じ並びです
ここで使った計算を、もう一度並べてみます。
（1＋100）×100÷2
最初の数と最後の数を足して、個数をかけて、2でわっています。1から10までのときも同じ形で、（1＋10）×10÷2＝55 でした。
この並びは、台形の面積の求め方と同じ形です。台形は（上底＋下底）×高さ÷2 で出します。
台形の面積は高学年で習う内容なので、まだ習っていなければ、式の形だけ見くらべてもらえれば大丈夫です。
上底が最初の数、下底が最後の数、高さが個数にあたります。
2でわる理由も同じで、どちらも「同じものを2つ重ねて長方形にしたものを、半分にもどしている」からです。
階段そのものが台形になるわけではありません。ですが、2つ重ねて半分にするという手順が同じなので、計算の並びもそろいます。
ポイント
- 数を高さにして並べると階段になり、マスの数の合計がそのまま答えになります。
- 同じ階段をさかさまに重ねると長方形になり、どの列も「最初の数＋最後の数」で同じ数になります。
- 長方形は階段2つ分なので、2でわるともとの合計にもどります。
- まとめると（最初の数＋最後の数）×個数÷2です。1から100までなら（1＋100）×100÷2＝5050になります。
練習問題
【練習問題】①
1から20までの数を全部足すと、いくつになりますか？
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答え：210
最初の数が1、最後の数が20、個数は20です。
（1＋20）×20÷2＝210 になります。
【練習問題】②
1から99までの数を全部足すと、いくつになりますか？
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答え：4950
最初が1、最後が99で、個数も99です。100までではないので、そこだけ注意します。
（1＋99）×99÷2＝4950 になります。
【練習問題】③
11から20までの数を全部足すと、いくつになりますか？
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答え：155
1から始まっていませんが、1ずつ増える数の並びなので、やり方は変わりません。
気をつけたいのは個数です。20－11＝9ではなく、11も数に入れるので、11から20までは10個になります。
（11＋20）×10÷2＝155 です。
まとめ
1から100までの和は、（1＋100）×100÷2 で5050と出ました。
階段を2つ重ねて長方形にすると、どの列も同じ数にそろいます。そろってしまえば、あとはかけ算1回で全体の数が出せます。
1から始まらない並びでも、1ずつ増える数が並んでいれば、最初と最後を足す形は変わりません。
並んだ数をそのまま足していくのではなく、並び方のほうを見ると、計算が短くなることがあります。同じような見方は、数の規則性のほうでも出てきます。