魔方陣は、たて・よこ・ななめの合計がどれも同じ
1から9までの9つの数を1回ずつ使って、3×3のマスに1つずつ入れます。たて・よこ・ななめに並んだ3マスを足すと、どの線も合計が同じになるように並べたものが魔方陣です。
よこの3マスも、たての3マスも、ななめの3マスも、合計はどれも15になっています。
この形は、90度ずつ回したり、左右にうら返したりすると、見た目のちがう並べ方が8通りできます。
ところが、どの並べ方をしても、真ん中のマスに入る数は必ず5です。四すみの数や辺の真ん中の数は入れかわるのに、中央だけが動きません。この5がどこから決まってくるのかを整理してみます。
1列の合計が15になる理由
使う数は1から9までの9つです。全部足すと、1から順に足していくと45になります。
魔方陣では、この45を、よこ3つの段に分けて入れています。3つの段の合計がどれも同じなら、45を3つに等しく分けたことになります。
45÷3＝15。
15という数は、最初から決まっていたわけではありません。「1から9を使う」「合計をそろえる」という2つの条件だけから、自動的に出てきた数です。たての3列で考えても、45を3つに分けることは同じなので、やはり15になります。
中央のマスを通る線は4本ある
合計が15になる3マスの並びは、よこ3本・たて3本・ななめ2本の、合わせて8本あります。
その8本のうち、中央のマスを通るのは4本です。よこの真ん中、たての真ん中、そしてななめ2本です。
中央のマスは、この4本すべてに入っています。この4本の中だけで見ると、四すみのマスはななめの1回、辺の真ん中のマスはよこかたてのどちらか1回しか出てきません。中央以外の8マスは、どれも1回ずつです。
中央のマスだけが、4本にまたがっているところがポイントになります。
4本の合計を重ねると、中央の数が出てくる
中央を通る4本を、まとめて足してみます。
4本を全部足すと60になる
どの線も合計は15なので、15×4＝60です。
4本をバラして並べると、それぞれの中身がはっきり見えます。
上の図の赤い枠に注目すると、中央のマスの数が4回出てきています。中央以外の8マスが1回ずつなのに対して、中央だけは4本すべてに入っているからです。
9マス全部を1回ずつ足すと45でした。
でも、4本を足した60のほうは、中央だけが4回入っています。
つまり60は、45に中央を3回ぶん余分に足した数です。
60と45の差が、中央を数えすぎたぶん
その余分なぶんは、60と45の差として取り出せます。
60－45＝15。
この15が、中央を3回よぶんに数えたぶんにあたります。15は中央3つ分なので、
15÷3＝5。
中央のマスに入る数が5と決まりました。ここまでの計算で使ったのは、45と15と4という数だけです。どの数がどのマスに入るかは一度も使っていません。だから、並べ方が8通りあっても、中央だけは5から動きようがないことになります。
5は1〜9をならした数と同じ
出てきた5を、別の見方でも確かめてみます。
45÷9＝5。
これは、1から9までの9つの数をならしたときの平均と同じ計算です。中央のマスには、使う数の平均が入っていることになります。
1列の合計15も、5が3つ分と見ることができます。平均が5の数を3つ集めれば15になるので、ここでもつながっています。
ポイント
- 3×3の魔方陣では、1列の合計は、使う数全部の合計÷3で決まります。
- 中央のマスを通る線は、よこ・たて・ななめ2本の合わせて4本です。
- 4本の合計には中央が4回入るので、余分な3回分から中央の数が出てきます。
- 中央の数は、使う数全部の合計÷9で求めた平均と同じ数になります。
使う数を1〜9から変えても、同じ考え方が通用します。実際に確かめてみます。
練習問題
【練習問題】①
1〜9のかわりに、2から10までの9つの数を使って魔方陣を作ります。1列の合計はいくつになりますか？
タップで答えを見る
答え：18
2から10までを全部足すと54です。それを3つの段に等しく分けるので、54÷3＝18になります。
【練習問題】②
①と同じ2から10までの9つの数を使うとき、真ん中のマスに入る数はいくつですか？
タップで答えを見る
答え：6
中央を通る4本の合計は18×4＝72です。ここから9マス全部の合計54をひくと72－54＝18で、これが中央3回ぶんにあたります。18÷3＝6です。54÷9＝6と、平均から求めても同じ数になります。
【練習問題】③
連続する9つの数を使って魔方陣を作ったところ、真ん中のマスが20になりました。使った9つの数は何から何までですか？
タップで答えを見る
答え：16から24まで
真ん中のマスに入るのは、使う9つの数の平均です。9つの数が連続しているとき、平均は小さいほうから5番目の数になります。5番目が20なら、そこから左右に4つずつ数が並びます。
16・17・18・19・20・21・22・23・24
念のため確かめてみると、合計は180で、180÷9＝20になります。
まとめ
魔方陣の並べ方は8通りありますが、真ん中に入る数はいつも同じでした。
1から9までの合計45を3つの段に分けると1列15、中央を通る4本を足すと60。その差の15が、中央を3回よぶんに数えたぶんです。
15÷3＝5で中央が決まり、この5は45÷9で求めた平均とも一致していました。
どの数をどこに置くかを調べなくても、合計だけを見ていくと真ん中の数が先に決まってしまう、というところが面白い部分です。