三角形の面積はなぜ「底辺×高さ÷2」なの？
5㎝(底辺) × 4㎝(高さ) ÷ 2 = 10㎠
算数で必ず習う「底辺×高さ÷2」という公式。
当たり前のように使っていますが、ふと「どうして半分にするんだろう？」と考えたことはありませんか？
長方形や正方形の面積は「縦×横」で済むのに、三角形になった途端に登場する「÷2」の存在。
子供の頃の私は、この「÷2」をただの決まり文句として暗記していました。
でも、大人になってからその理由を考え直してみると、そこには図形を自由に組み替えるパズルのような面白さが隠れていました。
実はこれ、「同じ三角形をもう1つくっつける」と一瞬で理由が見えてきます。
同じ三角形を2つ並べると、見慣れた「四角形」が現れる
三角形の面積の正体を知る一番の近道は、同じ形の三角形を「もう一つ」用意することです。
図のように、全く同じ三角形をひっくり返して隣にくっつけてみてください。
するとどうでしょう。あんなに扱いにくそうだった三角形が、綺麗な平行四辺形（あるいは長方形）に変身しました！
この平行四辺形の面積なら、「底辺×高さ」で求めることができますよね。
「÷2」は四角形を半分にしている証拠でした
ここで思い出してほしいのが、私たちが知りたかったのは「もとの三角形1つ分」の面積だということです。
今計算した「底辺×高さ」は、三角形2つ分を合わせた平行四辺形または長方形の面積。
だから、最後に「÷2」をして半分に戻してあげる必要があるのです。
「公式だから÷2をする」のではなく、「2つ合わせて四角形にしたから、あとで半分にする」。
この考え方は、複雑な図形をシンプルなルールに落とし込むための、強力なレールになってくれます。
どんなにひしゃげた三角形でも、直角がなくても、細長くても、この方法は必ず通用します。
「どんな形でもこのルールが通用する」という図形の必然性に触れると、算数の世界がとても整ったものに見えてきますね。
ポイント
- 同じ三角形を2つ用意して、隣に並べてみる。
- 2つ合わせると、面積が計算しやすい平行四辺形になる。
- 三角形は「四角形の半分」だから、最後に「÷2」をする。
【深掘り】なぜ「平行四辺形」だと言い切れるの？
ここで一歩踏み込んで考えてみましょう。「同じ形をくっつければ四角形になるのは分かったけど、それが本当に『平行四辺形』なの？」という疑問です。
平行四辺形には、『向かい合う角どうしの大きさがそれぞれ同じになる』という決まりがあります。
そしてそれは、『向かい合う角どうしの大きさがそれぞれ同じなら平行四辺形である』ということでもあるんです。
図をじっくり見てみてください。
元の三角形にある角 ㋐・㋑・㋒と、ひっくり返して持ってきた相棒の角 ㋐・㋑・㋒。これらは全く同じ図形なので、当然角の大きさも同じです。すると、出来上がった四角形の向かい合う角を見てみると……
- 左上の角（㋒）と、右下の角（㋒）が同じ。
- 左下の角（㋐＋㋑）と、右上の角（㋐＋㋑）が同じ。
見事に「向かい合う角が同じ」というルールをクリアしていますよね！偶然それっぽい形になったのではなく、同じ三角形を反転させて組み合わせたからこそ、平行四辺形になるべくしてなったのです。だからこそ、「底辺×高さ÷2」はどんな三角形でも崩れない公式になっているのです。
ポイント
今回は2組の対角で考えましたが、平行四辺形の成立条件には他にも
- 2組の向かい合う辺（対辺）がそれぞれ平行
- 2組の向かい合う辺（対辺）の長さがそれぞれ等しい
- 1組の向かい合う辺が、平行でかつ長さが等しい
などもありますが、これらも今回の「同じ三角形を作ってくっつけた図」でもイメージしやすいですね！
まとめ
三角形の面積の公式にある「÷2」は、図形を2つ組み合わせて四角形を作るという、鮮やかな発想から生まれたものでした。
「÷2」の裏側には、こんな理由があったんですね。図形問題で面積が出てきたら、「これ、2つにしたら四角形にならないかな？」と考えてみるのも良いかもしれません。