木が5本なら間は4つ。数が1つズレるのはなぜ？
まっすぐな道に沿って、木を5本、同じ間かくで植えました。
木を数えると5本です。ところが、木と木の間を数えてみると、4つしかありません。
どの木も同じ間かくで並んでいて、並び方はどこも変わっていないのに、木の数と間の数だけが1つズレています。
木の数と間の数は、なぜ1つ違うんでしょうか。
この「点の数と間の数のズレ」を整理するのが、植木算と呼ばれる考え方です。3つの植え方を順番に見ていきます。
木は5本、間は4つ
まず、道の両はしにも木を植えた場合です。
緑の番号が木で、①から⑤まで5本あります。
青の番号が木と木の間で、こちらは①から④までの4つです。
同じ列を数えているのに、木のほうが1つ多くなっています。
両はしに木がある植え方では、木の数がいくつでも、いつも木のほうが間より1つ多くなります。
なんでちょうど1つだけズレるんでしょうか。
木と間をペアにすると、余りが見える
理由は、木と間をセットにしてみると分かります。
左はしから順に、「木1本＋その右どなりの間1つ」をひとまとめにして、枠で囲んでいきます。
木①と間①、木②と間②……と囲んでいくと、ペアは4組できます。
ところが、いちばん右の木⑤には、ペアになる間が残っていません。
木1本だけがポツンと余ります。
この余った1本が、木のほうが1つ多くなる正体です。
木の数＝間の数＋1、ひっくり返すと間の数＝木の数−1という関係になっています。
木が10本なら間は9つ。木が100本でも、余るのはいちばん右の1本だけなので、間は99になります。
両はしに植えないと、今度は間が多くなる
次に、両はしに木を植えない場合です。
道の両はしにさくがあって、さくの位置には木を植えられないとします。
木は①から④の4本、間は①から⑤の5つで、さっきとは逆に間のほうが1つ多くなりました。
これもペアの考え方で説明できます。左はしから「間1つ＋木1本」の順でセットにしていくと、こんどは最後の間⑤だけ、ペアの相手が見つかりません。
余りが木から間に入れかわったので、木の数＝間の数−1になります。
まわる形にすると、数がぴったりそろう
最後は、池のまわりのように、ぐるっと1周する形に植えた場合です。
木は5本、間も5つで、初めて数がぴったりそろいました。
輪の形には、はしっこがありません。
どの木にも「右どなりの間」が必ず1つずつあるので、ペアを作っていっても、最後まできれいに組み終わります。
余りが出ないから、木の数＝間の数になります。
3つの植え方をくらべると、ズレるかどうかを決めているのは「はしがどうなっているか」だと分かります。
ポイント
- 両はしに木があるとき、最後の木1本が余るので、木の数は間の数より1多くなります。
- 両はしに木がないとき、最後の間1つが余るので、木の数は間の数より1少なくなります。
- 輪の形にははしがなく余りが出ないので、木の数と間の数は同じになります。
練習問題
【練習問題】①
まっすぐな道に沿って、はしからはしまで木を8本植えました。木と木の間はいくつできますか？
タップで答えを見る
答え：7つ
両はしに木があるとき、木1本と間1つをペアにしていくと、最後の木だけが余ります。
間の数は木の数より1少ないので、8−1＝7つになります。
【練習問題】②
2つの門の間に、木を1列に植えます。門の位置には植えません。間が6つできたとき、木は何本ですか？
タップで答えを見る
答え：5本
両はしが木ではないとき、余るのは間のほうなので、木の数は間の数より1少なくなります。
間が6つなので、6−1＝5本です。
【練習問題】③
池のまわりに沿って、木を7本植えました。木と木の間はいくつできますか？
タップで答えを見る
答え：7つ
輪の形にははしっこがなく、どの木にも右どなりの間が必ず1つずつあります。
余りが出ないので、木の数と間の数は同じになり、間も7つです。
発展問題
ここからは、この記事の知識だけでは解けない、少し手数のかかる問題です。
【発展問題】①
まっすぐな道に沿って、両はしにも木を植えて、5mおきに木を7本植えました。
(1) この道の長さは何mですか。
(2) 同じ道に、両はしにも木を植えたまま、こんどは3mおきに植え直します。木は何本必要ですか。
タップで答えを見る
答え：(1) 30m (2) 11本
まず見るのは、木の数ではなく間の数です。両はしにも木がある植え方なので、間の数は木の数より1少なくなります。
木が7本なので、間は7−1＝6つです。1つの間が5mなので、道の長さは5×6＝30mになります。
(2)は向きが逆になります。30mの道を3mずつに区切ると、間は30÷3＝10こです。両はしに木があるときは木のほうが1多いので、10＋1＝11本になります。
木の数から間の数を出すときは1を引き、間の数から木の数を出すときは1を足します。使っているのは、どちらも同じ木の数＝間の数＋1という関係です。
【発展問題】②
たて18m、よこ12mの長方形の土地があります。このまわりに沿って、4つのかどにも木を植えて、3mおきに木を植えます。木は何本必要ですか。
タップで答えを見る
答え：20本
まず見るのは、まわりを1周する長さです。たて18m、よこ12mなので、まわりは（18＋12）×2＝60mになります。
60mを3mずつに区切ると、間は60÷3＝20こです。
ここで1を足すか引くか迷うところですが、この土地のまわりは1周してつながっていて、はしがありません。どの木にも右どなりの間が1つずつあるので、木の数と間の数は同じになり、木は20本になります。
4つのかどに木がくるのは、たての18mも、よこの12mも3でわり切れるからです。約数と倍数の考え方で見ると、どちらの辺も3の倍数になっています。3の倍数でない辺があると、かどの手前で間かくがずれてしまいます。
まとめ
木の数と間の数は、同じ列を数えているのに1つズレることがあります。
ズレ方を決めているのは「はし」です。両はしに木があれば木が1多く、両はしに木がなければ間が1多く、輪の形ならぴったり同じになります。
丸暗記しなくても、「木1本＋間1つ」のペアを作って、余りがどちらに出るかを見れば、その場で確かめられます。
数の並びをよく見ると計算の形が見えてくるところは、キセル算で分母の形に気づく流れと似ています。植木算も、まず図をかいて「点と間」を数えてみるのがいちばんの近道です。