反比例って、どういう関係のこと？
面積が12cm²の長方形を考えます。
たてが2cmならよこは6cm、たてが3cmならよこは4cm、たてが6cmならよこは2cmです。
たてが大きくなるほど、よこはそのぶん小さくなっていきます。
反対に、ずっと変わらないものもあります。それは、たて×よこ＝12という面積です。
このように、かたほうが2倍・3倍になると、もうかたほうが半分（2分の1）・3分の1になる関係を、反比例といいます。
表で見ると「2倍・3倍」が逆になる
上の表を、まず横に見ていきます。
たてが1から2へ、つまり2倍になったところで、よこは12から6へ、半分になっています。
たてを3倍（1から3）にすると、よこは12から4になって、3分の1です。
たてが大きくなるほど、よこはそのぶん小さくなっていきます。
比例のときは、かたほうが2倍になると、もうかたほうも2倍になりました。
反比例はその逆で、かたほうが2倍になると、もうかたほうは半分になります。
もうひとつ、面白い見方があります。
いちばん下の段のように「たて×よこ」を計算してみると、2×6も、3×4も、6×2も、答えはぜんぶ12です。
表のどこをかけ算しても、同じ12が出てきます。
グラフにすると下がっていく曲線になる
同じ数を、今度はグラフの点にしてみます。
よこを横、たてを縦にして、数が交わるところに点を打っていきます。
打った点は、まっすぐには並びません。
左から右へ、なめらかに下がっていく曲線になります。
そして、この線は0（原点）を通りません。
右へ行くほど横の軸に近づき、上へ行くほど縦の軸に近づきますが、どちらの軸にもくっつくことはありません。
もし、たてやよこが0cmになってしまうと、面積が12の長方形は作れなくなってしまうからです。
比例のグラフが「0を通る一直線」だったのとくらべると、ずいぶんちがう形です。
グラフで、よこが6のところを見ると、たては2になっています。
式で見ると「たて×よこ＝決まった数」になる
表を見ても、グラフを見ても、さっきから同じ「12」が顔を出していました。
これを式にすると、こうなります。
たて × よこ ＝ 12
たてが分かれば、12をたてでわって、よこが出せます。
よこ ＝ 12 ÷ たて という形です。
比例では「決まった数 × もうかたほう」で表せました。
反比例はそこがちがって、「決まった数 ÷ もうかたほう」になります。
言葉でまとめると、
（かたほうの数）×（もうかたほうの数）＝（決まった数）
という形です。
反比例と似た考え方に、逆比があります。
かたほうが2倍になると、もうかたほうが2分の1になる——たてとよこのこの関係も、逆比の仲間です。逆比は3つの数がならぶときにも使えます。
ポイント
反比例は、3つの見方でとらえられます。
- 表で見ると：かたほうが2倍・3倍になると、もうかたほうは半分・3分の1になります。
- グラフで見ると：点が0を通らず、なめらかに下がる曲線になります。
- 式で見ると：（かたほう）×（もうかたほう）が、決まった数になります。
3つに共通しているのは、2つの数をかけると、いつも同じ数になることです。
練習問題
【練習問題】①
面積が24cm²の長方形があります。たてが4cmのとき、よこは何cmですか。
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答え：6cm
たて×よこ＝面積（決まった数）なので、よこ＝24÷4＝6cmになります。
【練習問題】②
たてとよこが反比例している長方形があります。たてが3cmのとき、よこは8cmでした。たてが6cmのとき、よこは何cmですか。
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答え：4cm
たて×よこはいつも同じなので、3×8＝24が決まった数です。たてが6cmのとき、よこは24÷6＝4cmになります。たてが2倍になったぶん、よこは半分になっています。
【練習問題】③
次のア・イのうち、たてとよこが反比例しているのはどちらですか。
ア たて1でよこ12、たて2でよこ6、たて3でよこ4
イ たて1でよこ6、たて2でよこ5、たて3でよこ4
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答え：ア
アはたて×よこがどれも12でそろい、かけると同じ数になるので反比例します。イは1×6＝6、2×5＝10とかけ算の答えがそろわないので、反比例していません。
発展問題
ここからは、この記事の知識だけでは解けない、少し手数のかかる問題です。
【発展問題】①
歯の数が36のAと、歯の数が24のBの、2つの歯車がかみ合っています。
(1) Aが10回転する間に、Bは何回転しますか。
(2) Bに、もう1つの歯車Cをかみ合わせました。Aが10回転する間に、Cは24回転しました。Cの歯の数はいくつですか。
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答え：(1) 15回転 (2) 15
(1) まず見るのは、AとBがかみ合っているところです。
Aの歯が1つ進むと、それに押されてBの歯も1つ進みます。かみ合った歯車どうしは、同じ時間に進む歯の数が同じになります。
Aは歯が36あるので、10回転する間に進む歯は 36×10＝360 です。Bもこの間に360の歯が進むので、Bの回転数は 360÷24＝15回転です。
歯の数×回転数が、AでもBでも360でそろっています。歯の数が多いほど回転数が少なくなる、反比例の関係です。歯の数の比はA：B＝3：2で、回転数の比は10：15＝2：3とひっくり返っていて、逆比になっています。
(2) 手がかりは、Cがかみ合っている相手がAではなくBだというところです。
BとCの間でも、(1)と同じように進む歯の数は等しくなります。Bは(1)で15回転すると分かっているので、Bで進む歯は 24×15＝360 です。
Cもこの間に360の歯が進み、24回転しているので、Cの歯の数は 360÷24＝15 です。
まん中にBをはさんでも、進む歯の数は360のまま変わりません。Aの360をBがそのままCへ受けわたしているので、BがなくてAとCが直接かみ合っていたとしても、Cの歯の数は同じ15になります。
まとめ
反比例かどうかを見分けるときは、次の3つのどれかを確かめると分かります。
かたほうが2倍・3倍になると、もうかたほうが半分・3分の1になっているか。
グラフにしたとき、0を通らずに下がっていく曲線になるか。
対応する2つの数をかけると、いつも同じ決まった数になるか。
どれも同じことを、表・グラフ・式という別の角度から見ているだけです。
試しに、面積が12の長方形で確かめてみます。
たてが6cmならよこは2cm、かけると6×2＝12。たてを2倍の12cmにすると、よこは半分の1cm、かけると12×1＝12。
やっぱり決まった数は12のままで、ちゃんと反比例になっています。
まずは2つの数をかけてみて、いつも同じ数になるか、確かめてみてください。