「－2」の意味を考える
多角形の内角の和を求めるとき、「180 × (頂点の数 － 2)」という式を習います。
でも、なぜわざわざ「2」を引くのか、不思議に思ったことはありませんか？
算数の面白さは、こうした公式の意味を考えるところにもあります。
今回は、図形を三角形に切り分けながら、この公式の意味を考えてみようと思います。
多角形の中に隠れている三角形を数えてみる
多角形の内角の和を知るための最短ルートは、その図形の中に「三角形が何個隠れているか」を探すことです。
三角形の内角の和は180°。もし図形の中に三角形が2個あれば、180 × 2。3個あれば 180 × 3 になるというわけです。
実際に、一つの頂点から対角線を引いて、図形を三角形に分けてみましょう。
- 四角形（頂点4つ） → 三角形は 2個
- 五角形（頂点5つ） → 三角形は 3個
- 六角形（頂点6つ） → 三角形は 4個
ここで一つの「きまり」が見えてきませんか？
三角形の数は、いつでも頂点の数よりも2つ少ない ということです。
この「いつでも2つ少ない」という発見こそが、公式にある「－2」の正体なのです。
頂点の数と三角形の数の「きまり」を見つける
では、なぜ三角形の数は、きまって「頂点の数 － 2」になるのでしょうか。
その理由は、対角線の引き方にあります。
多角形の「一つの頂点」から対角線を引くとき、線が引けない相手が3つあります。
それは「自分自身」と、その「両隣にある2つの頂点」です。
両隣に線を引くと、それは対角線ではなく「辺」になってしまいます。つまり、新しく図形を分ける線としては使えないんですね。
つまり、頂点がいくつあっても、そこから引ける対角線の本数は (頂点の数 － 3) 本になります。
そして、三角形の数は、対角線の本数よりも常に1つ多く切り分けられます。（対角線を1本引ける四角形は三角形2つに、2本引ける五角形は三角形3つに、3本引ける六角形は三角形4つに切り分けられますね。）
この (頂点の数 － 3) + 1 という計算の結果、三角形の数は (頂点の数 － 2) 個になるのです。
これが、多角形の内角の和を求めるときに「2」を引く理由です。
今回のまとめ
- 多角形は、一つの頂点から引く対角線で「三角形」に分けられる。
- 切り分けられる三角形の数は、いつでも（頂点の数 － 2）個。
- だから、内角の和は 180 × （頂点の数 － 2） で求められる。
まとめ
「180 × (頂点の数 － 2)」という式。
ただ暗記していたものが、三角形に切り分けるという過程を通すことで、しっかりと意味を理解することができますね。
公式を丸暗記するのではなく「なぜそうなるのか」を一度は考えてみるのも面白いですね。