多角形の内角の和で「−2」をする理由
多角形の内角の和を求めるとき、「180 × (頂点の数 － 2)」という式を習います。
でも、なぜわざわざ「2」を引くのか、ちょっと気になりますよね。
今回は、図形を三角形に切り分けながら、この「－2」の意味を整理してみます。
多角形の中に隠れている三角形を数えてみる
多角形の内角の和を知るのに、いちばん手っ取り早い方法があります。その図形の中に「三角形が何個隠れているか」を探すことです。
三角形の内角の和は180°。もし図形の中に三角形が2個あれば、180 × 2。3個あれば 180 × 3 になるというわけです。
実際に、一つの頂点から対角線を引いて、図形を三角形に分けてみましょう。
- 四角形（頂点4つ） → 三角形は 2個
- 五角形（頂点5つ） → 三角形は 3個
- 六角形（頂点6つ） → 三角形は 4個
ここで一つの「きまり」が見えてきますよね。
三角形の数は、いつでも頂点の数よりも2つ少ないということです。
この「いつでも2つ少ない」という関係が、公式にある「－2」につながっています。
頂点の数と三角形の数の「きまり」を見つける
では、なぜ三角形の数は、きまって「頂点の数 － 2」になるのでしょうか。
その理由は、対角線の引き方にあります。
多角形の「一つの頂点」から対角線を引くとき、線が引けない相手が3つあります。
それは「自分自身」と、その「両隣にある2つの頂点」です。
両隣に線を引くと、それは対角線ではなく「辺」になってしまいます。新しく図形を分ける線としては使えないんですね。
そのため、頂点がいくつあっても、そこから引ける対角線の本数は (頂点の数 － 3) 本になります。
そして、三角形の数は、対角線の本数よりも常に1つ多く切り分けられます。（対角線を1本引ける四角形は三角形2つに、2本引ける五角形は三角形3つに、3本引ける六角形は三角形4つに切り分けられますね。）
この (頂点の数 － 3) + 1 という計算の結果、三角形の数は (頂点の数 － 2) 個になるのです。
これが、多角形の内角の和を求めるときに「2」を引く理由です。
ポイント
- 多角形は、一つの頂点から引く対角線で「三角形」に分けられる。
- 切り分けられる三角形の数は、いつでも（頂点の数 － 2）個。
- だから、内角の和は 180 × （頂点の数 － 2） で求められる。
練習問題
【練習問題】①
七角形の内角の和は何度ですか。
タップで答えを見る
答え：900度
七角形は一つの頂点から対角線を引くと、頂点の数より2つ少ない5個の三角形に分けられます。三角形の内角の和は180度なので、180×5で900度になります。
【練習問題】②
ある多角形の一つの頂点から対角線を引いたら、三角形が6個に分けられました。この多角形は何角形で、内角の和は何度ですか。
タップで答えを見る
答え：八角形、内角の和は1080度
三角形の数は、いつでも頂点の数より2つ少なくなります。三角形が6個なら、頂点は6+2で8個なので八角形です。内角の和は180×6で1080度になります。
【練習問題】③
内角の和が1440度になる多角形があります。この多角形の一つの頂点からは、対角線を何本引けますか。
タップで答えを見る
答え：7本
内角の和が1440度なので、三角形は1440÷180で8個に分けられています。三角形の数は頂点の数より2つ少ないので、頂点は8+2で10個、十角形です。一つの頂点から対角線を引けない相手は「自分」と「両隣の2つ」の3つなので、引ける対角線は10−3で7本になります。
発展問題
ここからは、この記事の知識だけでは解けない、少し手数のかかる問題です。
【発展問題】①
下の図のように、同じ大きさの正八角形を2つ、辺をぴったり重ねてならべました。
(1) 正八角形の1つの内角は何度ですか。
(2) 図の㋐の角は何度ですか。また、このすき間にぴったり入る正多角形は何ですか。
タップで答えを見る
答え：(1) 135度 (2) 90度、正方形
(1)で見るのは、「正」八角形だというところです。正多角形は辺の長さも角の大きさもすべて同じなので、内角の和が分かれば、それを角の数で等しく分けられます。
八角形の内角の和は 180×(8－2) で1080度。角は8つあって、どれも同じ大きさなので、1080÷8 で1つの内角は135度になります。正六角形の1つの角が120度になるのも、同じ見方でたどれます。
(2)で見るのは、㋐がどこにある角なのかです。㋐は、2つの正八角形が重なっている辺のはしにある点のまわりにできています。
この点のまわりを1周すると360度で、そのうち135度ずつを2つの正八角形が使っています。残りが㋐なので、360－135－135 で90度です。
90度は直角なので、すき間にぴったり入るのは、角が直角の正多角形、つまり正方形になります。すき間をはさんでいる2本の辺は、どちらも正八角形の辺で長さが同じです。直角のところに同じ長さの辺が2本そろっているので、その長さの正方形がちょうど収まります。
まとめ
「180 × (頂点の数 － 2)」という式。
三角形に切り分けていく過程をたどると、なぜ「2」を引くのかがすっと見えてきますよね。
公式の意味を一度たどってみると、数字のつながりが面白く感じられるかもしれません。