【キセル算】なぜ途中が消える？間がキャンセルされる分数計算の仕組み｜小学生の算数【数と計算】

キセル算はなぜ途中が消える？間がキャンセルされる分数計算の仕組み

1/2 ＋ 1/6 ＋ 1/12 ＋ 1/20 ＋ 1/30 ＋ 1/42 ＋ 1/56 ＋ 1/72 ＋ 1/90 ＝ ？

分母がバラバラで、通分しようにも共通の分母を見つけるだけで大変です。

ところが、この分母にはある共通点が隠れていて、それに気づくと通分なしで答えが出せます。

順番に見ていきます。

分母をよく見てみる

問題の分母を並べてみます。

2、6、12、20、30、42、56、72、90。

バラバラに見えますが、それぞれを分解してみると、こうなっています。

• 2 ＝ 1 × 2
• 6 ＝ 2 × 3
• 12 ＝ 3 × 4
• 20 ＝ 4 × 5
• 30 ＝ 5 × 6
• 42 ＝ 6 × 7
• 56 ＝ 7 × 8
• 72 ＝ 8 × 9
• 90 ＝ 9 × 10

全部、連続する2つの整数のかけ算になっています。

1×2、2×3、3×4……と、隣り合う整数のペアがずらっと並んでいるんですね。

この形に気づくと、1つ1つの分数を「引き算の形」に分けることができます。

1つだけ取り出して分解してみる

まず、最初の 1/2 だけを取り出します。

分母の 2 は 1 × 2 なので、この分数は 1/(1×2) と書けます。

ここで、1 のバーと 1/2 のバーを並べてみます。

1 のバーから 1/2 のバーを引いた残り（オレンジの部分）が、ちょうど 1/(1×2) になっています。

つまり、1/(1×2) ＝ 1 − 1/2 です。

計算でも確かめてみると、1 − 1/2 ＝ 1/2 で、1/(1×2) も 1/2 ですから、たしかに同じ値になっています。

もう1つ試してみる

同じことが、次の 1/6 でもできるか見てみます。

分母の 6 は 2 × 3 なので、1/(2×3) です。

1/2 のバーと 1/3 のバーを並べます。

1/2 から 1/3 を引いた残りが、1/(2×3) になっています。

1/(2×3) ＝ 1/2 − 1/3 ですね。

同じやり方で、9つの分数を全部「引き算の形」に分けることができます。

• 1/(1×2) ＝ 1 − 1/2
• 1/(2×3) ＝ 1/2 − 1/3
• 1/(3×4) ＝ 1/3 − 1/4
• 1/(4×5) ＝ 1/4 − 1/5
• 1/(5×6) ＝ 1/5 − 1/6
• 1/(6×7) ＝ 1/6 − 1/7
• 1/(7×8) ＝ 1/7 − 1/8
• 1/(8×9) ＝ 1/8 − 1/9
• 1/(9×10) ＝ 1/9 − 1/10

全部並べると間が消える

9つの分数を、それぞれ引き算の形に分解して全部並べてみます。

まず、どの部分がもとの問題のどの分数にあたるかを確認します。

式の下に書いてある数が、もとの問題に出てきた分数です。分解した式を足し合わせると、たしかにもとの分数に戻ることがわかります。

確認できたら、下の部分を取り払って、展開した式だけを見てみます。

1 − 1/2 ＋ 1/2 − 1/3 ＋ 1/3 − 1/4 ＋ …… ＋ 1/9 − 1/10

ここで、式の中をよく見てください。

−1/2 と ＋1/2 が隣り合っています。同じ数を引いて足しているので、打ち消し合ってゼロになります。

同じように、−1/3 と ＋1/3、−1/4 と ＋1/4 ……と、間の項が次々に消えていきます。

グレーの箱に入った部分がすべて打ち消し合って消え、残るのは最初の 1 と最後の −1/10 だけです。

1 − 1/10 ＝ 10/10 − 1/10 ＝ 9/10

答えは 9/10 です。

通分も使わず、足し算1つと引き算1つで答えが出ました。

練習問題

【練習問題】①

1/(1×2) ＋ 1/(2×3) ＋ 1/(3×4) ＋ 1/(4×5) を計算してみましょう。

【練習問題】②

1/6 ＋ 1/12 ＋ 1/20 ＋ 1/30 を計算してみましょう。

まとめ

分母が「連続する2つの整数のかけ算」になっている分数は、引き算の形に分解できます。

分解した結果を全部並べると、隣り合う同じ値の項が打ち消し合い、最初と最後だけが残ります。

この方法がキセル算です。名前の由来は、昔の煙管（きせる）という道具が、両端だけ金属で真ん中は竹でできていたことから、「両端だけ残る」イメージにたとえたものです。

見た目は分母がバラバラで手ごわそうな問題ですが、「分母が連続する整数のかけ算になっていないか？」と気づけるかどうかがポイントです。分配法則と同じく、計算の形を書き換えるだけで答えへの道が一気に短くなります。

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