辺の長さだけを変えた2つの三角形を見比べてみる
三角形ABCの辺は3cm、4cm、5cmです。
もう1つの三角形DEFの辺は6cm、8cm、10cm。
2つを並べてみると、辺の長さはどれも2倍に変わっています。
でも角度のほうは、どの角もぴったり同じ大きさのまま。
大きさだけが違っていて、形そのものは変わっていません。
こうした関係にある図形を、拡大図と縮図と呼びます。
辺は2倍、でも角度はそのまま
大きい三角形DEFは、小さい三角形ABCの辺をすべて2倍にした図形です。
3cmが6cm、4cmが8cm、5cmが10cm。
どの辺も同じ「2倍」で伸びています。
一方で、角度はどうでしょうか。
直角の位置も、ほかの2つの角の大きさも、まったく同じままです。
大きいほうを「拡大図」、小さいほうを「縮図」と呼びます。
DEFはABCの2倍の拡大図であり、逆にABCはDEFの2分の1の縮図です。
このとき、辺を「何倍にしたか」を表す数を、倍率と呼びます。
今回の倍率は2倍です。
拡大図と縮図は、相似な図形と同じ関係にあります。
辺の比がすべてそろっていて、角がすべて等しい。
小学校では「拡大図・縮図」、中学校では「相似」として習いますが、見ているものは同じです。
三角形以外でも同じルール
三角形だけでなく、四角形でも同じことが言えます。
もとの平行四辺形は、底辺5cm、斜めの辺3cm。
2倍の拡大図は、底辺10cm、斜めの辺6cm。
底辺も斜めの辺も、4つの辺がすべて同じ2倍に変わっています。
角度のほうは、どこも変わっていません。
形はそのままで、大きさだけが変わっています。
拡大図と縮図のルールをまとめると、2つだけです。
- 対応するすべての辺に同じ倍率をかける
- 角度はそのまま写す
この2つを守れば、どんな形の図形でも拡大図・縮図が描けます。
地図の縮尺と縮図の関係
地図は、実際の土地を小さくした「縮図」です。
地図には「1：50000」のような数字が書かれていることがあります。
これが縮尺です。
1：50000は、「地図上の1cmが、実際の50000cm（＝500m）にあたる」という意味です。
たとえば、地図の上で2つの地点の間が2cmだったとします。
実際の距離は、2cm × 50000 ＝ 100000cm。
100000cmは1000m、つまり1kmです。
地図上の長さに縮尺の数をかけると、実際の距離が出てきます。
ポイント
- 拡大図と縮図は、対応するすべての辺に同じ倍率をかけ、角度はそのまま写した図形です。
- 大きくしたほうが拡大図、小さくしたほうが縮図です。
- 地図は実際の土地の縮図です。地図上の長さ × 縮尺の数 ＝ 実際の距離になります。
練習問題
【練習問題】①
三角形の辺が4cm、6cm、8cmです。この三角形の3倍の拡大図を描いたとき、いちばん長い辺は何cmになりますか。
タップで答えを見る
答え：24cm
いちばん長い辺は8cmです。拡大図ではすべての辺を同じ倍率で伸ばすので、8 × 3 ＝ 24cmになります。
【練習問題】②
長方形のたてが12cm、よこが8cmです。この長方形の2分の1の縮図を描くと、たてとよこはそれぞれ何cmになりますか。
タップで答えを見る
答え：たて6cm、よこ4cm
縮図ではすべての辺を同じ倍率で縮めます。12 ÷ 2 ＝ 6cm、8 ÷ 2 ＝ 4cmです。
【練習問題】③
縮尺が1：25000の地図で、A地点からB地点までの距離が4cmでした。実際の距離は何mですか。
タップで答えを見る
答え：1000m
地図上の長さに縮尺の数をかけます。4 × 25000 ＝ 100000cmです。100000cm ＝ 1000mなので、実際の距離は1000mになります。
まとめ
拡大図と縮図は、辺の長さだけを同じ倍率で変えた図形です。
角度は変わらず、形はそのまま保たれます。
三角形でも四角形でも、どんな形でもこのルールで描くことができます。
地図は実際の土地の縮図で、縮尺の数をかけると実際の距離が分かります。
辺の比がそろっているとき、面積がどう変わるかも計算で求めることができます。