平行線の間にある三角形
2本の平行線の間に、三角形ABCがあります。
三角形の面積を考えるときに重要なのは、「底辺」と「高さ」です。
この図では、底辺ABが下の平行線の上にあり、高さは「2本の平行線の間の距離」になります。
三角形の面積は「底辺 × 高さ ÷ 2」で求められるので、底辺と高さが同じなら、形が変わっても面積は変わりません。
ここから、頂点の位置を動かして確かめてみます。
頂点を横に動かしてみる
底辺ABはそのままにして、頂点Cだけを右側へ動かしています。新しくできた三角形はABDです。
見た目は大きく変わりました。右へ大きく動いて、横に細長い形になっています。
頂点をここまで右に動かすと、頂点から底辺へまっすぐ下ろした高さの線が、三角形の外側にくることもあります。それでも、2本の平行線の間の距離であることは変わりません。
ただ、ここで注目したいのは「変わっていないもの」です。
底辺ABは動かしていないので長さは同じ。そして高さも変わっていません。頂点は上の平行線の上を動いているだけなので、下の平行線との距離は常に一定だからです。
つまり、
- 底辺は同じ
- 高さも同じ
三角形の面積は「底辺 × 高さ ÷ 2」で決まるので、面積も変わりません。
面積を変えずに形だけを変化させることを「等積変形」と呼びます。
等積変形が図形問題で役立つ理由
図形問題では、形が変わると面積も変わったように見えることがあります。でも実際には、底辺と高さが同じままというケースがよくあります。
平行線が出てきたときは「高さは変わっていないのでは？」と考えてみると、複雑に見える図形でも整理しやすくなります。
ポイント
- 底辺が同じ
- 高さも同じ
- だから面積も同じ
平行線が出てきたら、まず「高さは変わっていないか？」に注目です。
練習問題
【練習問題】①
下の図で、三角形ABCと三角形ABDの面積をくらべると、どうなりますか。
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答え：同じ面積になります。
底辺ABは2つの三角形で共通で、頂点CもDも同じ上の平行線の上にあります。平行線の間の距離は変わらないので、高さも同じです。三角形の面積は底辺×高さ÷2で決まるので、底辺と高さが同じなら面積も同じになります。
【練習問題】②
下の図で、三角形ABDの面積は何cm²ですか。
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答え：12cm²です。
高さは平行線どうしの距離なので、頂点Dを右に動かして高さの線が三角形の外に出ても、4cmのままです。底辺6cm、高さ4cmなので、6×4÷2で12cm²になります。
【練習問題】③
下の図で、3つの三角形のうち、面積が等しいものはどれとどれですか。
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答え：㋐と㋑です。
3つの底辺は同じ長さです。㋐と㋑は頂点が同じ上の平行線の上にあるので、高さ（平行線の間の距離）も同じになります。底辺も高さも同じなので、面積も等しくなります。㋒は頂点がその線にとどかず高さが小さいので、面積も小さくなります。
まとめ
今回は、頂点を平行線の上で横に動かしただけなので、底辺も高さも変わらず、面積もそのままでした。
これが等積変形です。形が大きく変わっても、底辺と高さがそろっていれば面積は同じ。
複雑な面積問題に出会ったときの、ちょっとした手がかりになります。