五角形に線を引くと、対角線は5本
五角形の頂点を、A、B、C、D、Eとします。
となりどうしの頂点を結んだ線は、五角形の辺そのものです。
でも、となりでない頂点どうしを結ぶと、図形の内側を通る線が新しく出てきます。
どの頂点どうしを結んでも、「頂点と頂点を結んでいる」ことは同じです。
違うのは、その線が辺になるか、内側を通る線になるかです。
この内側を通る線を対角線といいます。
赤い線が対角線です。五角形では5本ありました。
では、六角形や八角形になると何本になるのか。実際に数えながら見ていきます。
対角線は「となりでない頂点」を結んだ線
まず、頂点Aから線を引ける相手を確かめます。
AとBを結ぶと、それは辺ABです。AとEを結んだ線も、辺EAになります。
残るのはCとD。この2本が、Aから引ける対角線です。
同じように、Bからは2本、Cからは2本……と続きます。
五角形の対角線は、AC・AD・BD・BE・CEの5本になります。
1つの頂点から引けるのは（頂点の数－3）本
数える相手を、六角形で整理してみます。
頂点Aから線を引けない相手は3つあります。
自分自身と、右どなりのB、左どなりのFです。
となりと結んでも辺になってしまうので、対角線にはなりません。
六角形の頂点は6つ。そこから引けない3つを取り除くと、残りはC・D・Eの3つです。
6 － 3 ＝ 3 で、Aから引ける対角線は3本になります。
この「－3」は、どの多角形でも同じです。八角形なら 8 － 3 ＝ 5 本、十角形なら 10 － 3 ＝ 7 本です。
三角形だと 3 － 3 ＝ 0 になります。となりでない頂点が残らないので、対角線は1本も引けません。
同じ「－3」は、多角形の内角の和を三角形に分けて考えるときにも出てきます。
全部の頂点で数えると、同じ線を2回数えている
六角形の頂点は6つあって、そのどれからも3本ずつ引けます。
Aから3本、Bから3本、Cから3本……と6つの頂点ぶん数えると、6 × 3 ＝ 18。
ただ、この18は対角線の本数ではありません。実際に六角形の対角線を数えると、18本もないからです。
対角線ADに注目します。
Aから数えるときに1回、Dから数えるときにもう1回。同じ1本を、両はしの頂点から2回数えています。
これはADだけの話ではありません。対角線には必ず両はしに頂点があるので、どの対角線も2回ずつ数えられています。
数えた回数が実際の2倍になっているので、2でわります。
18 ÷ 2 ＝ 9 で、六角形の対角線は9本です。
六角形と八角形で確かめてみる
式にすると、こうなります。
（頂点の数）×（頂点の数 － 3）÷ 2
六角形なら 6 × 3 ÷ 2 ＝ 9。八角形なら 8 × 5 ÷ 2 ＝ 20 です。
左が六角形、右が八角形です。実際に引いてみると、たしかに9本と20本になっています。
四角形でも同じで、4 × 1 ÷ 2 ＝ 2。四角形の対角線は2本です。
頂点が増えても、やることは変わりません。1つの頂点から引ける本数を出して、頂点の数だけかけて、2でわるだけです。
同じ数え方は総当たり戦の試合数でも出てくる
今度は、線を辺と対角線に分けずに、5つの点をどれも1回ずつ結んでみます。
どの点からも、自分以外の4つに線を引けます。
5 × 4 ＝ 20 ですが、ここでも同じ線を両はしから2回数えているので、20 ÷ 2 ＝ 10 本です。
図を見ると、10本の内訳は辺が5本と対角線が5本になっています。
この 5 × 4 ÷ 2 ＝ 10 という計算は、5つのチームが1回ずつ対戦するときの試合数と同じ形です。
どちらも「2つ選んで結ぶ」数え方なので、式が重なります。
数が小さいうちは、樹形図で書き出しても同じ答えにたどりつきます。
ポイント
- 対角線は、となりでない頂点どうしを結んだ線です。
- 1つの頂点から引ける本数は（頂点の数 － 3）本。引けない相手は自分・右どなり・左どなりの3つです。
- 全部の頂点で数えると、どの対角線も両はしから2回数えることになります。だから2でわります。
- まとめると（頂点の数）×（頂点の数 － 3）÷ 2 です。
練習問題
【練習問題】①
七角形の対角線は何本ありますか。
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答え：14本
1つの頂点から引けるのは 7 － 3 ＝ 4 本です。
頂点は7つあるので 7 × 4 ＝ 28。同じ線を2回数えているので、28 ÷ 2 ＝ 14 本になります。
【練習問題】②
十角形の対角線は何本ありますか。
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答え：35本
1つの頂点から引けるのは 10 － 3 ＝ 7 本です。
10 × 7 ＝ 70 で、70 ÷ 2 ＝ 35 本になります。
【練習問題】③
6つの点があります。どの2つの点も1回ずつ線で結ぶと、線は全部で何本になりますか。
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答え：15本
今回は辺と対角線を分けずに数えます。どの点からも、自分以外の5つに線を引けます。
6 × 5 ＝ 30 で、30 ÷ 2 ＝ 15 本です。
六角形として見ると、辺6本と対角線9本を合わせた数になっています。
まとめ
多角形の対角線の本数は、（頂点の数）×（頂点の数 － 3）÷ 2 で出せます。
式の中の「－3」は、自分と両どなりの3つには引けないという意味です。
「÷2」は、1本の対角線を両はしの頂点から2回数えているぶんを戻しています。
この2つが分かっていれば、何角形でも同じ手順で数えられます。頂点の数が大きくなっても、途中でやることは変わりません。