正方形を対角線で切ると、三角形が2つできます
正方形が1つあります。
4つの辺はどれも同じ長さで、4つの角はすべて直角です。
この正方形に、頂点Aと頂点Cを結ぶ線を1本だけ引いて、その線で切ってみます。
切ると、四角形が1つだった図形は、三角形2つに変わります。
ですが、正方形の辺だった部分の長さも、角の大きさそのものも変わっていません。
このとき出てくるのが、直角二等辺三角形です。
名前は長いですが、正方形を半分にしただけの形です。
点線が、これから切る線です。
切ってできた2つの三角形は、同じ形と大きさをしています
切り分けた2つを、向きは変えずに、少し離して並べてみます。
左が三角形ACD、右が三角形ABCです。
どちらの三角形も、もとの正方形の辺だった部分を2本ずつ持っています。
正方形の4つの辺はすべて同じ長さなので、この2本も同じ長さです。
2つの辺が等しい三角形は二等辺三角形なので、切ってできた三角形は、どちらも二等辺三角形ということになります。
次に角を見ます。
左の三角形のDの角と、右の三角形のBの角は、正方形の角がそのまま残った部分です。
切った線はこの2つの角を通っていないので、90°のまま手つかずで残っています。
2つの辺が等しくて、角の1つが直角。
この2つがそろった三角形を、直角二等辺三角形と呼びます。
青い線は切り口です。
1本の線に沿って分かれたので、切り口の長さは左右で同じになります。
残りの2つの角がどちらも同じ45°になる理由
ここからは、三角形を1つだけ取り出して考えます。
分かっているのは、直角の90°だけです。
大きさを出す前に、残りの2つの角の関係を先に決めておきます。
この三角形は二等辺三角形です。
二等辺三角形では、長さの等しい2辺にはさまれた角ではないほうの、残り2つの角がいつも同じ大きさになります。
この図でいうと、等しい2辺にはさまれているのはBの直角です。
なので、同じ大きさになるのはAとCの角のほうで、どちらも㋐としておきます。
ここで使うのが、三角形の内角の和が180°になるという性質です。
3つの角を合わせて180°、そのうちの1つが90°なので、㋐と㋐を合わせた大きさは180－90で90°になります。
合わせて90°で、2つは同じ大きさ。
なので、90÷2で、㋐1つ分は45°です。
45°という数字は、覚えておく数字というより、90を半分にした結果として出てくる数字です。
45°が2つそろうと、正方形の角にもどります
今度は逆に、切った2枚をもとどおり合わせてみます。
頂点Aのところを見ると、45°の角と45°の角が並んでいます。
45＋45で90°。
正方形の角が、そのまま復元されています。
BとDの直角は、2枚の三角形がそれぞれ持っていた直角です。
これで4つの角がすべて90°になり、もとの正方形にもどります。
三角定規は2枚で1組になっていますが、45°が入っているほうの1枚が、この直角二等辺三角形です。
もう1枚の30°・60°・90°の三角定規は、正方形ではなく正三角形を半分にした形なので、出てくる角度がちがいます。
ポイント
- 正方形を対角線で切ると、直角二等辺三角形が2つできます
- 2つの辺が等しいのは、その2辺がもとの正方形の辺だからです
- 角は180－90で残り90°、それを2つに分けて90÷2＝45°になります
- 45°を2つ合わせると90°になり、正方形の角にもどります
まとめ
正方形を対角線で1回切ると、直角二等辺三角形が2つできます。
2つの辺が等しいのは、その2辺がもとは正方形の辺だったからです。
45°が出てくるのは、内角の和の180°から直角の90°を引いて、残った90°を等しい2つに分けているからです。
順番に追っていくと、45°はどこからともなく出てくる数字ではないことが分かります。
45°を見かけたときは、近くに正方形か、正方形を半分にした形がかくれていないか探してみると、図の見え方が少し変わるかもしれません。