長さの数字は10倍なのに、面積は100倍になります
たて1cm・よこ1cmの正方形を、1mmずつのマスで区切ってみます。長さで見ると、1辺の1cmはmmになおすと10mmなので、数字は10倍です。ところが面積で見ると、1cm²の中には1mm²のマスが100個入ります。こちらは100倍です。正方形そのものは何も変わっていないのに、単位を変えたときの数字のふえ方だけがちがっています。このちがいがどこから来るのかを整理してみました。
1cm²の中に、1mm²はいくつ入るのか
まずは数えてみます。1辺が1cmなので、1mmのマスはよこに10個並びます。同じように、たてにも10個並びます。
よこ10個のまとまりが、たてに10だんある形です。マスの数は「10 × 10 ＝ 100」で、全部で100個になります。
1マスが1mm²なので、1cm²は100mm²だと分かります。長さの数字は10倍なのに、面積の数字は100倍です。
たてとよこ、両方が10倍になっている
なぜ100倍になるのかは、面積の出し方を思い出すとはっきりします。長方形の面積は「たて × よこ」で求められます。
cmからmmになおすと、たての数字が10倍になり、よこの数字も10倍になります。かけ算の相手が両方とも10倍になるので、答えは10 × 10 で100倍です。
10倍になる変化が、2回重なっている。これが面積で100倍になる理由です。
体積は、3つの方向がそれぞれ10倍になります
面積で2回かかるなら、体積ではどうなるでしょうか。今度は1辺1cmの立方体を、1mmずつに区切って考えます。
1cm³の中に、1mm³はいくつ入るのか
立方体には、たて・よこ・おくの3つの方向があります。1辺が1cmなので、どの方向にも1mmのマスが10個ずつ並びます。
数は「10 × 10 × 10 ＝ 1000」で1000個です。つまり1cm³は1000mm³になります。
体積は「底面積 × 高さ」で求められますが、底面積の中にすでに2方向ぶんが入っています。そこに高さの方向が加わるので、方向は全部で3つです。
かける回数が1回・2回・3回と増えていく
ここまでを並べてみると、ふえ方の正体が見えてきます。
長さは1つの方向しかないので、10を1回かけて10倍。面積はたてとよこの2方向なので、10を2回かけて100倍。体積はたて・よこ・高さの3方向なので、10を3回かけて1000倍です。
方向の数と、かける回数がそのまま一致しています。
mとcmの間でも、同じことが起きています
ここで気をつけたいことがあります。長さの単位は、いつも10倍ずつ並んでいるわけではありません。1cmは10mmですが、1mは100cm、1kmは1000mです。
では1mとcmの関係で見てみます。1m＝100cmなので、面積では100を2回かけて「100 × 100 ＝ 10000」。1m²は10000cm²です。体積では100を3回かけて「100 × 100 × 100 ＝ 1000000」。1m³は1000000cm³になります。
長さの倍率が10でも100でも、面積なら2回・体積なら3回かける、というしくみは変わりません。だから面積や体積の単位は、なおしたときの数字が一気に大きくなるんですね。
このかけ算が2回に増えるという話は、相似比が2倍なら面積は4倍になるのと同じ考え方でもあります。
ポイント
・長さの単位をなおす倍率を、面積では2回、体積では3回かける
・1cm＝10mm なら、1cm²＝100mm²、1cm³＝1000mm³
・1m＝100cm なら、1m²＝10000cm²、1m³＝1000000cm³
練習問題
【練習問題】①
1cm＝10mmです。1cm³は何mm³ですか。
タップで答えを見る
答え：1000mm³
たて・よこ・高さの3つの方向が、それぞれ10倍になります。10 × 10 × 10 ＝ 1000 で、1000倍です。
【練習問題】②
1m＝100cmです。1m²は何cm²ですか。
タップで答えを見る
答え：10000cm²
面積なので、たてとよこの2つの方向がそれぞれ100倍になります。100 × 100 ＝ 10000 です。
【練習問題】③
30000cm²は、何m²ですか。
タップで答えを見る
答え：3m²
1m²が10000cm²なので、30000cm²の中に1m²が何個分あるかを考えます。30000 ÷ 10000 ＝ 3 です。
まとめ
単位を変えたときに数字が何倍になるかは、その形がいくつの向きに広がっているかで決まっていました。
- 長さは1つの向きだけなので、倍率を1回かける
- 面積はたてとよこの2つの向きなので、倍率を2回かける
- 体積はたて・よこ・高さの3つの向きなので、倍率を3回かける
1cm²＝100mm² や 1m²＝10000cm² を、数字だけで覚えようとすると混乱しがちです。でも「たてとよこの両方が変わるから2回かける」と分かっていれば、その場で作り直せます。
面積や体積の単位で数字が一気に大きくなるのは、向きの数だけかけ算がくり返されているからなんですね。