円周角と中心角のきまり
円の周上にある2つの点から、それぞれ線を引いてできる2種類の角について考えます。
線を引いた先を、円の中心にするか、それとも円の周上にある別の点にするかによって、角ができる位置が大きく変わります。一方で、どちらの角であっても、円のふちにある同じ2つの点から線が伸びている状態は変わりません。
このとき、円の中心にできる角を「中心角」、円の周上にできる角を「円周角」と呼びます。
同じ弧から作られる2つの角の名前と場所
まずは、それぞれの角が円のどこにできるのか、位置関係を確認します。
同じ2つの点から出発していても、円の中心に向かって伸びる角（中心角）と、円の周上の点に向かって伸びる角（円周角）に分かれます。
図で太くなっているのは、点Bから点Aまでの円のふちの部分です。この曲線を「弧AB」といいます。円周の一部分、という意味です。
中心角も円周角も、この同じ弧ABの両はしから伸びた線でできています。角のできる場所はちがっても、もとになっている弧は同じです。
中心角と円周角の大きさのきまり
次に、2つの角の大きさを比べてみます。
中心角の大きさが80度のとき、円周角の大きさは40度になっています。
中心角を別の角度にしても、円周角の大きさは常に中心角の半分（中心角は円周角の2倍）になります。
なぜ中心角は円周角の2倍になるのか？
「たまたまこの図が半分になっただけでは？」と思うかもしれません。そこで、点Pから中心Oを通る補助線を1本引いて、なぜ2倍になるのかを確かめます。
円の半径にあたる3本の線（OB、OP、OA）の長さはすべて同じです。そのため、補助線の左右に2つの二等辺三角形ができます。
二等辺三角形の底角（2つの同じ角）は等しいので、左の二等辺三角形（OBP）の底角2つに「●」、右の二等辺三角形（OAP）の底角2つに「×」の印をつけます。
ここで三角形の外角のきまり（1つの外角は、隣り合わない2つの内角の和に等しい）を使います。すると、中心にある角の左側は●2つ分（●●）、右側は×2つ分（××）になります。
全体を比べると、円周角が「●＋×」であるのに対して、中心角は「●●＋××」です。●と×が何度であっても、中心角のほうには同じ印が2つずつ入ります。そのため、中心角は円周角のちょうど2倍になります。
ここで確かめたのは、補助線が中心角の中を通る形です。点Pの場所によっては補助線が中心角の外を通る形もありますが、そのときも二等辺三角形を使って同じように確かめられます。
なぜどこに移動しても角度が変わらないのか？
円周上にある点の位置を動かしたときの変化を考えてみます。
図の点Pと点Qのように、円の周上で角を作る位置を動かしても、角度はどちらも40度のままで変わりません。点Pと点Qは、どちらも弧ABをのぞいた円周上にあります。
さきほどの図で、弧ABの中心角は80度でした。もとになる弧ABが同じなら、円周角はどれも「その80度の半分」として決まります。そのため、点を弧ABをのぞいた円周上で動かしても、円周角の大きさは変わりません。
逆にいうと、同じ円の中では、弧の長さがちがえば、そこから作る円周角の大きさもちがってきます。円周角がそろうのは、同じ弧から作ったときです。
ポイント
- 同じ弧から作ったとき、円周角の大きさは中心角のちょうど半分（中心角は円周角の2倍）になります。
- 弧ABをのぞいた円周上であれば、どこに角を作っても、円周角の大きさはすべて同じになります。
- 同じ円の中では、弧の長さがちがえば、そこから作る円周角の大きさもちがってきます。
練習問題
【練習問題】①
下の図で、㋐は何度ですか？
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答え：60°
円周角は中心角の半分になります。中心角が120°なので、㋐はその半分の60°です。
【練習問題】②
下の図で、㋐は何度ですか？
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答え：70°
中心角は円周角の2倍になります。円周角が35°なので、㋐はその2倍の70°です。
【練習問題】③
下の図で、㋐は何度ですか？
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答え：55°
同じ弧ABから作る円周角は、角をつくる点を弧ABをのぞいた円周上で動かしても、大きさは変わりません。点Pが55°なので、㋐も55°です。
発展問題
ここからは、この記事の知識だけでは解けない、少し手数のかかる問題です。
【発展問題】①
下の図で、点Oは円の中心です。
(1) ㋐は何度ですか？
(2) ㋑は何度ですか？
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答え：(1) 130° (2) 65°
(1) 最初に見るのは、点Oが円の中心だと書かれているところです。OAとOCは、どちらも円の半径です。半径の長さはすべて同じなので、この2本は同じ長さになります。
2本の辺が同じ長さなら、三角形OACは二等辺三角形です。底角は等しいので、点Cのところの角も25°だと分かります。
あとは三角形の3つの角を合わせると180°になることを使います。180−25−25＝130なので、㋐は130°です。
(2) ㋐と㋑が、どちらも弧ACの両はしから伸びた角になっていることに注目します。㋐は中心にできているので中心角、㋑は円周上の点Bにできているので円周角です。
同じ弧から作った角なので、円周角は中心角の半分になります。130÷2＝65なので、㋑は65°です。
㋐を先に出したのは、円周角がいつも「もとになる弧の中心角の半分」として決まるからです。中心角さえ分かってしまえば、点Bが円周上のどこにあっても答えは変わりません。
まとめ
円周角は中心角のちょうど半分になります。補助線を1本引いて「半径の長さがすべて同じ」という円の性質に注目すると、その理由が見えてきます。
そして、この関係が成り立つのは、2つの角が同じ弧から作られているときです。弧ABをのぞいた円周上であれば、円周角をどこに作っても大きさは変わりません。