角が同じなら、相似じゃなくても面積の比が出せる｜小学生の算数【図形】

角が同じ三角形は、相似でなくても面積の比が出せる

大きい三角形ABCの中に、辺AB上の点Dと、辺AC上の点Eをとります。
点DはABのまん中、点EはACを1：2に分ける場所です。
そこにできる小さい三角形ADEと、もとの三角形ABC。

2つの大きさはかなりちがいますが、頂点Aの角はぴったり共有しています。
ADとAEの縮み方はそろっていないので、相似ではありません。

それでも、共有する角Aを手がかりにすると、相似でなくても面積の比が出せます。
今回は、同じ大きさの三角形を★1つと決めて、何個分あるかを数えてみます。

三角形ADEを★1つとすると、三角形ABEは★2つ

小さい三角形ADEを、面積の基準にします。これを★1つとします。

ここで、三角形ADEと三角形DBEを見比べます。
2つは頂点Eが共通で、底辺ADとDBは、同じ直線AB上にあります。

三角形の面積は底辺×高さ÷2。
だから高さが同じなら、面積の比は底辺の比になります。

Eから直線ABまでの高さは、三角形ADEでも三角形DBEでも同じです。
（このEからの高さは、三角形DBEでは底辺DBの外側にきます。でも高さが図形の外にあっても、面積の考え方は変わりません。）

高さが同じで、底辺ADとDBは1：1。
だから、三角形DBEの面積も★1つです。

合わせると、三角形ABE（＝三角形ADE＋三角形DBE）は★2つ分になります。

三角形ABCは★6つ分

次に、三角形ABEと三角形EBCを見比べます。
2つは頂点Bが共通で、底辺AEとECは、同じ直線AC上にあります。

Bから直線ACまでの高さは、三角形ABEでも三角形EBCでも同じです。
高さが同じなら、面積の比は底辺の比。

AEとECは1：2なので、三角形EBCの面積は、三角形ABEの2倍。
三角形ABEは★2つだったので、三角形EBCは★4つ分です。

これで、大きい三角形ABCの中身が、ぜんぶ★で数えられました。
ABEの★2つと、EBCの★4つで、三角形ABCは★6つ分。
いちばん小さい三角形ADEは★1つ。

だから、三角形ADEと三角形ABCの面積の比は、1：6です。

★の数は、はさむ2辺の比のかけ算

★を数えた手順を、ふり返ってみます。

ABはADの2倍。だから三角形ABEは、三角形ADE（★1つ）の2つ分で★2つ。
ACはAEの3倍。だから三角形ABCは、三角形ABE（★2つ）の3つ分で★6つ。

2倍と3倍で、2×3＝6。
三角形ABCが★6つになったのは、このかけ算の結果でした。

つまり面積の比は、角をはさむ2辺がそれぞれ何倍になっているかを、かけ合わせれば出せます。
今回はADがABの2分の1、AEがACの3分の1。かけ合わせて6分の1です。

ここで使ったのは「角Aが共通」ということだけ。
もしADとAEが同じ縮み方なら、三角形ADEはABCをそのまま縮めた形になり、相似になります。
相似は、この数え方の中で、2つの比がそろった特別な場合にあたります。

練習問題

【練習問題】①

下の図で、三角形ADEの面積は、三角形ABCの何分のいくつになりますか。

【練習問題】②

下の図で、三角形ABCの面積が40cm²のとき、三角形ADEの面積は何cm²ですか。

【練習問題】③

下の図で、三角形ADEの面積は三角形ABCの何分のいくつになりますか。また、三角形ADEと三角形ABCは相似ですか。

まとめ

角を1つ共有していれば、相似かどうかに関係なく、面積の比が出せます。

やったことは、同じ大きさの三角形を★1つと決めて、何個分あるかを数えただけ。
ADとDBが1：1だから三角形ABEは★2つ、AEとECが1：2だから三角形EBCは★4つ、合わせて三角形ABCは★6つ。三角形ADEは★1つで、1：6でした。

数えた★の数は、角をはさむ2辺の比をかけた数になっています。
相似は、その2つの比がそろった特別な場合です。

共有する角をはさむ2辺の比をかけ合わせる。
それが、そのまま面積の比になります。

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