角柱や円柱を切り開くと、側面はどんな形になるのでしょう
三角柱がひとつあります。
上と下に三角形があって、そのまわりを3つの面が囲んでいます。
この立体を、たての辺で1本切って、平らに開いてみます。
面の数は5つのままで、1つ1つの面の大きさも変わっていません。
変わったのは、平らに並んだことだけです。
そのうえで、まわりを囲んでいた3つの面は、ばらばらにならず、横につながった1つの長方形になっています。
三角柱の側面を切り開いてみる
立体を切り開いて平らにした図を展開図といいます。
三角柱の展開図には、三角形が2つと長方形が1つあります。
三角形は上下の底面です。
長方形が側面で、もともと3つに分かれていた面が横に並んだものです。
3つの面は、たての辺でつながったまま開かれています。
境目に折り目が残るだけで、外側の形は1つの長方形です。
面が3つあるのに、なぜきれいな長方形の形になるのか。
理由は、たてとよこで分けて見ると見えてきます。
たての長さがどこも同じ、というのがカギ
側面のたての辺は、どれも三角柱の高さと同じ長さです。
上の底面と下の底面がぴったり同じ形で重なっていて、その間をまっすぐつないでいるのが、たての辺だからです。
3つの面を横に並べると、たての辺は両はしの2本と、面と面の境目の2本で、全部で4本になります。
その4本がすべて同じ長さなので、上の辺も下の辺も段差ができず、一直線にそろいます。
もし、たての長さが1本でも違っていたら、上下はでこぼこになって長方形にはなりません。
面の幅がばらばらでも、たてさえそろっていれば長方形になる、というところがこの図のおもしろい部分です。
よこの長さは「底面のまわりの長さ」になる
底面の三角形の3辺が、3cm・4cm・5cmだとします。
側面の1つ1つは、底面の辺を1つずつ持っています。
3cmの辺の上に立つ面はよこが3cm、4cmの辺の上に立つ面はよこが4cm、5cmの辺の上に立つ面はよこが5cmです。
これを横に並べるので、長方形のよこは 3＋4＋5＝12cm になります。
12cmは、底面の三角形をぐるっと1周した長さです。
つまり、よこの長さは底面のまわりの長さと同じになります。
四角柱なら4つ、五角柱なら5つと、足す辺の数が増えるだけで、考え方は変わりません。
円柱の側面も、同じ理由で長方形になる
円柱も、角柱で見てきたことがそのまま当てはまります。
底面の辺の数を増やしていくと、六角柱、十二角柱と、底面はだんだん円に近づきます。
辺を増やすと円に近づくという見方は、円周率が3.14になる理由を考えるときにも出てきます。
円柱の展開図は、上下に底面の円が2つ、まん中に側面の長方形が1つです。
側面のたては、やはり高さです。
よこは、底面のふちを1周した長さ、つまり円周と同じになります。
円周は直径×3.14で求められるので、直径が4cmなら 4×3.14＝12.56cm です。
曲がっていた円周が、そのまままっすぐな辺にのびた形です。
ポイント
- 側面を切り開いた長方形のたては、立体の高さと同じです。
- よこは、底面のまわりを1周した長さです。
- 円柱では、そのまわりの長さが円周（直径×3.14）になります。
練習問題
【練習問題】①
底面が3cm・4cm・5cmの三角形で、高さが8cmの三角柱があります。この三角柱の側面を切り開くと長方形になります。この長方形のよこの長さは何cmですか。
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答え：12cm
よこの長さは底面のまわりの長さと同じになるので、3＋4＋5＝12cmです。高さの8cmは、長方形のたての長さになります。
【練習問題】②
底面がたて3cm・よこ5cmの長方形で、高さが10cmの四角柱があります。側面を切り開いてできる長方形の、たてとよこの長さはそれぞれ何cmですか。
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答え：たて10cm、よこ16cm
たては立体の高さと同じです。よこは底面のまわりの長さになるので、3＋5＋3＋5＝16cmです。
【練習問題】③
底面の直径が4cm、高さが9cmの円柱があります。側面を切り開いてできる長方形の、よこの長さは何cmですか。円周率は3.14とします。
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答え：12.56cm
よこの長さは底面の円周と同じになります。円周は直径×3.14で求められるので、4×3.14＝12.56cmです。
まとめ
角柱も円柱も、側面を切り開くと1つの長方形になります。
たてがどこも高さでそろっているので上下が一直線になり、よこは底面のまわりを1周した長さになります。
底面が三角形でも、四角形でも、円でも、この2つは変わりません。
長方形の面積は「たて×よこ」で求められるので、この形が分かっていると表面積を計算するときにも使えます。