くり返す並びの「何番目」は、数えなくても見つけられる
○、△、□、○、△、□…と、同じ3つがくり返し並んでいるとします。
この並びの20番目は、○・△・□のどれになるでしょうか。
20番目まで全部書き出せば分かりますが、数が大きくなるほど大変になります。
ただ、番号は1、2、3、4…と増えていくのに、並び方じたい（○△□の順）は、ずっと同じままくり返しています。
この「くり返し」に注目すると、全部書き出さなくても、何番目が何かを見つけられます。この考え方を周期算といいます。
あまりを使って「何番目」を見つける
まず「1周分（周期）」を見つける
○△□の並びは、○・△・□の3個が1つのまとまりになって、これがくり返されています。
この「くり返しの1つ分」を1周と呼びます。○△□なら1周は3個です。
くり返し1回分の長さ（何個でひとまわりするか）を周期といいます。○△□の周期は3です。
くり返す並びは、まず何個ごとにくり返しているかに気づくことが、はじめの一歩になります。これは数の規則性を見つけるのと同じ考え方です。
1周が何個かが分かると、その数を手がかりにして、何番目でも位置を出せるようになります。
番目を周期でわった「あまり」が位置になる
20番目を求めてみます。
1周が3個なので、20を3でわります。
20 ÷ 3 ＝ 6 あまり 2 です。
これは「1周（3個）を6回くり返して、そのあとにあと2個進んだ」という意味です。
だから20番目は、1周の中の2番目と同じ場所になります。○△□の2番目は△なので、20番目は△です。
念のため19番目も見てみます。19 ÷ 3 ＝ 6 あまり 1 なので、1周の1番目＝○です。図の19番目が○、20番目が△と、ちゃんと合っています。
あまりが0のときは「1周の最後」になる
1つだけ、気をつけたい場面があります。
たとえば6番目を求めると、6 ÷ 3 ＝ 2 あまり 0 で、わり切れます。
あまりが0だと「0番目？」と迷いやすいですが、0番目という場所はありません。
わり切れたということは、あまりが残らず、ちょうど1周ぶんで区切りよく終わった、ということです。
なので、あまり0のときは「その周のいちばん最後＝周期の3番目」になります。6番目は□です。
ポイント
- 同じ並びがくり返すときは、まず「1周＝何個か（周期）」を見つけます。○△□なら周期は3です。
- 「何番目 ÷ 周期」のあまりが、1周の中の何番目かを表します。20 ÷ 3 ＝ 6 あまり 2 なら、2番目と同じで△です。
- あまりが0のときは0番目ではなく、その周のいちばん最後（周期の数の位置）になります。
練習問題
【練習問題】①
○、△、□の3つがくり返し並んでいます。左から14番目は、○・△・□のどれですか。
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答え：△
1周は3個なので、14 ÷ 3 ＝ 4 あまり 2 です。あまり2は1周の2番目と同じなので、14番目は△になります。
【練習問題】②
同じ○△□のくり返しで、15番目は○・△・□のどれですか。
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答え：□
15 ÷ 3 ＝ 5 あまり 0 で、わり切れます。あまりが0のときは1周のいちばん最後になるので、3番目の□です。
【練習問題】③
今度は ○、○、△、□ の4つがくり返し並んでいます。左から30番目は、○・△・□のどれですか。
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答え：○
○が2つ続くので、1周を3個と数えないように気をつけます。1周は○○△□の4個で、周期は4です。30 ÷ 4 ＝ 7 あまり 2 で、1周の2番目と同じです。○○△□の2番目は○なので、30番目は○になります。
発展問題
ここからは、この記事の知識だけでは解けない、少し手数のかかる問題です。
【発展問題】①
1、3、5、2、1、3、5、2…と、4つの数が同じ順番でくり返し並んでいます。
(1) 左から50番目の数は何ですか。
(2) 1番目から50番目までの数を全部足すと、いくつになりますか。
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答え：(1) 3 (2) 136
(1) まず、何個ごとにくり返しているかを見ます。1、3、5、2の4個で1周なので、周期は4です。
50 ÷ 4 ＝ 12 あまり 2 です。1周（4個）を12回くり返したあと、あと2個進んだところが50番目です。1周の2番目は3なので、50番目は3になります。
(2) 50個を1つずつ足すのではなく、(1)で出した「12周とあと2個」に分けて考えます。
1周分の合計は、1＋3＋5＋2＝11です。どの周も同じ4つの数が同じ順番で並んでいるので、1周分の合計はどの周でも11になります。
12周分の合計は、11 × 12 ＝ 132です。
残りの2個は、1周の1番目と2番目なので、1と3です。この2個の合計は、1＋3＝4です。
全部を合わせると、132＋4＝136になります。
【発展問題】②
2/7を小数に直したとき、小数第100位の数字は何ですか。
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答え：7
最初に見るのは、2 ÷ 7 を計算していくと、出てくる数字がくり返すかどうかです。
2 ÷ 7 をわり算で進めると、0.285714285714…となり、「285714」の6個の数字がくり返し並びます。わり算のあまりが、6、4、5、1、3と進んだあと、はじめの2に戻るので、そこから先は同じ計算がくり返されます。7でわったときのあまりは6種類までしかないため、どこかで必ず同じあまりに戻ります。
小数第1位が2、第2位が8…と、小数点のすぐ右から数えた「第何位」が、並びの「何番目」にあたります。なので、周期6の並びの100番目を探す問題として考えられます。
100 ÷ 6 ＝ 16 あまり 4 です。「285714」を16回くり返したあと、あと4個進んだところが小数第100位です。1周の4番目は7なので、小数第100位の数字は7になります。
まとめ
周期算は、まず1周の長さ（周期）を見つけて、何番目かを周期でわり、あまりの位置を読むだけでした。
20番目のように大きな数でも、20 ÷ 3 ＝ 6 あまり 2 とすれば、全部並べなくても△だと分かります。
あまりが0のときだけ、0番目ではなく1周の最後になることに気をつけてください。
分数を小数に直したときに同じ数字がくり返すのも、出てくるあまりの種類が決まっているために起きることで、くり返しが生まれる仕組みは同じです。
長い並びが出てきたら、まず何個ごとにくり返しているかを数えて、わり算のあまりを見てみてください。