円のまわりを転がる円は、1周で何回まわるのか
まっすぐな線の上で、円を転がしてみます。
ここでは、円はすべらずに転がるものとします。
円周と同じ長さだけ進むと、円はちょうど1回転して止まります。
では、進む相手を「同じ大きさの円のまわり」に置きかえたらどうなるでしょうか。
転がる長さは同じままです。それなのに、円は2回転します。
長さは変わっていないのに、回った数だけが1回多くなります。
この1回がどこから出てくるのかを、順番に見ていきます。
直線の上なら、円周のぶんで1回転
円のふちに印を1つ付けて、転がしながら追いかけます。
はじめは印が下にあり、半分進むと上に来て、円周のぶんだけ進むとまた下にもどります。ここまでで1回転です。
進んだ長さが円周の2倍なら2回転、3倍なら3回転になります。直線の上では進んだ長さ ÷ 円周で回転数が出せます。
円周は直径×3.14で求められます（円の基本）。
この数え方は分かりやすいので、相手が円になっても、そのまま使えそうに見えます。
円のまわりだと2回転になる
今度は土台になる円を置いて、同じ大きさの円をそのまわりで転がします。
2つの円は同じ大きさなので、土台の円のまわりの長さは、転がる円の円周と同じです。
土台に沿って進んだ長さだけを見れば、円周1個ぶんなので1回転です。
ところが、実際の円の動きを見ると、そうはなりません。
4分の1周したところで、印はもう半回転しています。
半周で1回転、4分の3周で1回転半。そして1周してスタートにもどったときには、印は2回まわっています。
土台に沿って進んだ長さは同じなのに、回転数だけが1回多くなっています。
中心が動いた道のりで数える
ずれの正体は、どこを見て数えるかにあります。
2つの円が接している点は、円の中心どうしを結んだ線の上にあります（円の接線でも同じ関係が出てきます）。
この接している点だけを見ていると、進んだ長さは土台の円のまわりの長さと同じです。
ですが、円そのものは中心ごと動いています。
すべらずに転がるなら、中心が進んだ長さと、円が回転した量は対応します。そこで、円の中心がどれだけ動いたかを見ます。
転がる円の中心は、土台の円の中心から見ると、いつも半径2つ分はなれた場所にあります。土台の半径と、転がる円の半径を足した長さです。
だから中心がえがくのは、半径が2倍の円になります。
半径が2倍なら円周も2倍なので、中心が動く道のりは、転がる円の円周の2倍です。
半径3cmの円で確かめます。転がる円の円周は3×2×3.14＝18.84cmです。
中心がえがく円は半径が6cmなので、道のりは6×2×3.14＝37.68cmになります。
37.68÷18.84＝2で、ちゃんと2回転になりました。
直線の上を転がるときは、中心も同じ長さだけまっすぐ動いていました。だから「進んだ長さ÷円周」で答えが合っていたわけです。
数え方を中心が動いた道のり ÷ 自分の円周に直しておけば、相手が直線でも円でも同じ考え方で数えられます。
土台の円が大きいときも同じやり方
土台が大きくなっても、やることは変わりません。
半径3cmの円が、半径6cmの円のまわりを1周する場合で見てみます。
中心どうしのきょりは6＋3＝9cmなので、中心がえがく円の半径は9cmです。
道のりは9×2×3.14＝56.52cm、転がる円の円周は18.84cmなので、56.52÷18.84＝3で3回転になります。
ここで、わり算の中身を見てみます。中心がえがく円の円周も、転がる円の円周も、どちらも「半径×2×3.14」で作られています。
同じものでわっているので3.14は消えて、9÷3＝3のように、中心がえがく円の半径 ÷ 転がる円の半径でも計算できます。
中心がえがく円の半径には、土台の半径だけでなく、転がる円自身の半径も入っています。この自分の半径ぶんが、ちょうど1回転ぶんにあたります。
土台に沿った長さで数えると6÷3で2回転ぶん。そこに自分の半径ぶんの1回転が加わって、3回転になります。
転がったあとの通り道の面積を調べるときも、中心の動きを追う見方が役に立ちます（図形の転がりと通過領域）。
ポイント
- 直線の上を転がるときは、進んだ長さ÷円周で回転数が出ます。
- 円のまわりを転がるときは、中心が動いた道のり÷自分の円周で数えます。
- 中心がえがく円の半径は、土台の半径と転がる円の半径を足した長さです。
- 3.14が消えるので、中心がえがく円の半径÷転がる円の半径でも回転数が出せます。
- 同じ大きさの円のまわりを1周すると、道のりが円周の2倍になるので2回転します。
- 円の外側を1周するときは、土台に沿った長さで数えたときより、回転数が1回多くなります。
練習問題
【練習問題】①
半径5cmの円が、同じ大きさの円のまわりを1周します。何回転しますか。
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答え：2回転
中心がえがく円の半径は5＋5＝10cmなので、道のりは10×2×3.14＝62.8cmです。
転がる円の円周は5×2×3.14＝31.4cmです。
62.8÷31.4＝2で、2回転になります。
半径どうしを使って、10÷5＝2と計算することもできます。
【練習問題】②
半径2cmの円が、半径4cmの円のまわりを1周します。何回転しますか。
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答え：3回転
中心がえがく円の半径は4＋2＝6cmなので、道のりは6×2×3.14＝37.68cmです。
転がる円の円周は2×2×3.14＝12.56cmです。
37.68÷12.56＝3で、3回転になります。
半径どうしを使うと、6÷2＝3で同じ答えになります。
【練習問題】③
半径2cmの円が、ある円のまわりを1周したら4回転しました。土台になった円の半径は何cmですか。
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答え：6cm
転がる円の円周は2×2×3.14＝12.56cmです。4回転したので、中心が動いた道のりは12.56×4＝50.24cmになります。
この道のりが円周になる円の半径は、50.24÷3.14÷2＝8cmです。
中心どうしのきょりが8cmで、そこから転がる円の半径2cmを引くと、土台の円の半径は6cmと分かります。
半径どうしで考えると、4回転は「中心がえがく円の半径÷2cm」が4ということなので、2×4＝8cmと先に出すこともできます。
まとめ
同じ大きさの円のまわりを転がる円が2回転するのは、中心が動く道のりが、円周の2倍になっていたからでした。
接している場所だけを見ていると、土台のまわりの長さぶんしか進んでいないように見えます。
数える場所を中心に移すと、回転数と計算がきちんと合います。
円が転がる問題に出会ったら、まず中心がどんな線をえがくかを、うすく描いてみてください。