多角形の「外角」を全部足すと、いつでも360度？
三角形でも、五角形でも、百角形でも、へこみのない多角形なら、図形の「外側の角度（外角）」を全部足した合計は必ず 360度 になります。
頂点が増えれば内角の和は大きくなるのに、なぜ外角の合計だけは変わらないのでしょうか？
その理由を、「内角 ＋ 外角 ＝ 180度」というルールを手がかりに、順番に整理してみます。
隣り合わせの「180度」を見つける
まずは、多角形のひとつの頂点だけを見てみます。
外角というのは、頂点から出ている辺の片方をそのまままっすぐ延ばしたときに、となりの辺との間にできる角のことです。図の矢印が、延ばした先を指しています。
外角は1つの頂点につき1つ数えるので、外角の数は頂点の数と同じになります。
そして内角と外角は、この延ばした直線の上でとなり合って並んでいます。
2つを合わせると一直線、つまり 180度 になりますよね。「内角 ＋ 外角 ＝ 180度」。
この関係を、すべての頂点で使っていきます。
図形全体の「合計」を計算してみる
次は、視点を広げて図形全体を見ます。
どの頂点でも「内角＋外角＝180度」が成り立つので、五角形なら「180度のセット（半円パーツ）」が頂点と同じ 5つ あります。
すべての頂点のパーツを合わせると、合計は 180度 × 5 ＝ 900度 です。
この900度の中には、5つの内角と5つの外角が、まとめて入っています。
「引き算」で外角だけを取り出す
900度から内角が使っている分を取り除けば、残りが外角の合計になります。
180度の「半円パーツ」がいくつあるか、整理します。
- 全体のパーツ： 頂点と同じ 5つ あります。
- 内角のパーツ： 多角形の内角の和の通り 3つ です。（頂点5 － 2）
この「5つ」から、内角が使っている「3つ」を取り除きます。
180度のパーツが「2つ」だけ残りました。
この残った2つ分は、内角には使われていなかった部分です。つまり、そのまま外角にあたります。
180度 × 2 ＝ 360度。これが外角の和の正体です。
三角形でも同じで、全体のパーツは3つ、内角の和が使うのは1つなので、残りはやはり2つ分の360度になります。
ポイント
「全体の数」から「そこから2を引いた数」を取り除くので、残るパーツはいつでも「2つ」になります。
・六角形なら：全体の6個 － 内角の4個 ＝ 残りは2個
・十角形なら：全体の10個 － 内角の8個 ＝ 残りは2個
どんなに頂点が増えても、最後は「2セット分の180度」だけが余るようになっています。
練習問題
【練習問題】①
ある多角形の1つの内角が140度のとき、その頂点の外角は何度ですか？
【練習問題】②
正八角形の1つの外角は何度ですか？
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答え：45度
外角の和は、どんな多角形でも360度です。正多角形は内角がどれも同じなので、180度から引いた外角も同じ大きさになります。正八角形の外角は8つで、どれも同じ大きさなので、360÷8＝45度になります。
【練習問題】③
正多角形の1つの外角が30度のとき、これは何角形ですか？
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答え：正十二角形
外角の和は360度なので、同じ大きさの外角が何個集まっているかは、360÷30＝12で求められます。外角は頂点と同じ数だけあるので、頂点が12個の正十二角形になります。
発展問題
ここからは、この記事の知識だけでは解けない、少し手数のかかる問題です。
【発展問題】①
正五角形と正六角形があります。辺の長さはどれも同じです。
図のように、この2つを1つの辺でぴったり重ねてくっつけました。
(1) 正五角形の1つの内角と、正六角形の1つの内角は、それぞれ何度ですか。
(2) 角㋐の大きさは何度ですか。
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答え：(1) 正五角形は108度、正六角形は120度 (2) 132度
まず、正多角形の外角に目を向けます。
外角の和はどんな多角形でも360度です。正多角形は内角がどれも同じ大きさなので、その外側にできる外角も同じ大きさにそろいます。ですから、360度を頂点の数でわれば、外角1つ分が出ます。
正五角形は外角が5つなので、360÷5＝72度です。内角と外角を合わせると一直線、つまり180度になるので、内角は180−72＝108度になります。
正六角形も同じで、外角は360÷6＝60度、内角は180−60＝120度です。
(2)では、くっつけた点のまわりに集まっている角を見ます。そこに並んでいるのは、正六角形の内角120度、正五角形の内角108度、そして㋐の3つです。
1つの点のまわりを一周すると360度になります。一直線が180度で、その反対側にもう一直線分の180度があるので、合わせて180×2＝360度です。
㋐は、一周のうち2つの内角が使っていない残りの部分にあたります。360−120−108＝132度になります。
まとめ
「どんな多角形でも外角の和は360度になる」
これは、内角と外角が「180度のセット」を分け合っていて、内角が使わなかった分がいつでも2セット分（＝360度）残るからです。
頂点が1つ増えれば、180度のパーツも1つ増えます。ですが、増えた分はそのまま内角の和のほうに入るので、外角に回る2セットは動きません。