多角形の「外角」を全部足すと、いつでも360度？
三角形でも、五角形でも、百角形でも、図形の「外側の角度（外角）」を全部足すと、その合計は必ず 360度 になります。
頂点が増えれば内角の和は大きくなるのに、なぜ外角の合計だけは変わらないのでしょうか？
その理由を、「内角 ＋ 外角 ＝ 180度」というルールを手がかりに、順番に整理してみます。
隣り合わせの「180度」を見つける
まずは、多角形のひとつの頂点に注目してみましょう。
図のように、内角と外角は隣り合って並んでいます。
この2つを合わせると一直線、つまり 180度 になりますよね。「内角 ＋ 外角 ＝ 180度」。
ここが出発点です。
図形全体の「合計」を計算してみる
次に、視点を広げて図形全体を見てみましょう。
五角形の場合、この「180度のセット（半円パーツ）」が頂点の数と同じ 5つ あります。
すべての頂点にあるパーツを合わせると、合計は 180度 × 5 ＝ 900度 になります。
「引き算」で外角だけを取り出す
「全体の合計」から、中身の「内角の和」を引き算してみましょう。
180度の「半円パーツ」がいくつあるか、整理してみます。
- 全体のパーツ： 頂点と同じ 5つ あります。
- 内角のパーツ： 多角形の内角の和の通り 3つ です。（頂点5 － 2）
この「5つ」から、内角が使っている「3つ」を引いてみると……
180度のパーツが「2つ」だけ残りました。この残った「2つ分の180度」は、もともと内角では使われていなかった分、つまりすべて外角にあたる部分です。
180度 × 2 ＝ 360度。これが外角の和の正体です。
ポイント
「全体の数」から「そこから2を引いた数」を取り除くので、残るパーツはいつでも「2つ」になります。
・六角形なら：全体の6個 － 内角の4個 ＝ 残りは2個
・十角形なら：全体の10個 － 内角の8個 ＝ 残りは2個
どんなに頂点が増えても、最後は「2セット分の180度」だけが余るようになっています。
練習問題
【練習問題】①
ある多角形の1つの内角が140度のとき、その頂点の外角は何度ですか？
【練習問題】②
正八角形の1つの外角は何度ですか？
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答え：45度
外角の和は、どんな多角形でも360度です。正八角形は8つの外角がどれも同じ大きさなので、360÷8＝45度になります。
【練習問題】③
正多角形の1つの外角が30度のとき、これは何角形ですか？
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答え：十二角形（正十二角形）
外角の和は360度なので、同じ大きさの外角が何個集まっているかは、360÷30＝12で求められます。外角は頂点と同じ数だけあるので、頂点が12個、つまり十二角形になります。
まとめ
「どんな多角形でも外角の和は360度になる」
これは、内角と外角が「180度のセット」を分け合っていて、内角が使わなかった分がいつでも2セット分（＝360度）残るからです。