向きが違っても、本当に「同じ」？
目の前に並んだ、2つの三角形。
向きが全然違うので、パッと見ただけでは本当に同じ形なのか判断がつきません。
裏返したり回転させたりすれば、ぴったり重なるかもしれない。
でも、算数の世界では「なんとなく同じ」ではなく、確実に同じと言い切れる根拠が必要です。
見た目に頼らず、「絶対に重なる」と言い切るためのルール。
それが、三角形の合同条件です。
形を固定する「3つの条件」
三角形には、3つの辺と3つの角、合計6つのパーツがあります。
一見、全部を調べないと不安に思えますが、実はたった3つの情報で形は完全に決まります。
一部が決まると、残りはもう自由に動けなくなります。
三角形は「これ以上変えられない形」になるわけです。
その3つの条件を見ていきましょう。
三辺相当
1つ目は、最もシンプルな条件です。
3本の辺の長さがすべて決まると、その三角形の形はもう変えられません。
長さが決まった3本の辺は、それ以外の組み合わせではつながらないからです。
辺の長さが決まれば、角度も自動的に決まります。
できる三角形は1通りに確定します。
二辺一角相当
2つ目は、少し条件が絞られたケースです。
2本の辺の長さと、その2本の間の角を固定します。
すると、2本の辺の開き方が完全に決まり、残りの1辺の長さも自然に決まります。
ここでも三角形の形は1つに決まります。
※「間の角」であることが大切で、ここが違うと形は1つに決まりません。
一辺二角相当
最後は、少し不思議に感じるかもしれません。
まず、1本の辺の長さを決めます。
その両端から、それぞれ決まった角度で線を伸ばします。
2本の直線は、必ず1点で交わります。
条件が同じなら、その交点も必ず同じ場所になります。
頂点の位置が1つに決まるので、三角形の形も完全に固定されます。
ポイント
- 「合同」とは、向きや位置が違っても「形も大きさも完全に同じ」こと。
- 三角形が合同と言えるのは、3つの条件のどれかを満たしたとき。
- 3つの条件とは、①三辺相当、②二辺一角相当、③一辺二角相当。このどれかを満たしていれば合同といえます。
練習問題
【練習問題】①
2つの三角形があります。3つの辺の長さが、それぞれぴったり同じでした。この2つの三角形は合同といえますか。あてはまる合同条件の名前も答えてください。
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答え：合同といえます。条件は三辺相当（3組の辺がそれぞれ等しい）です。
3本の辺の長さがすべて決まると、三角形の形は1通りに決まります。辺の長さがそろっていれば、できる三角形も同じ形になります。
【練習問題】②
2つの三角形で、2本の辺の長さがそれぞれ等しく、さらに1つの角の大きさも等しいことが分かっています。この2つの三角形は必ず合同といえるでしょうか。合同といえるためには、その角はどこの角である必要がありますか。
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答え：等しい角が、その2本の辺の間の角であれば、合同といえます。条件は二辺一角相当（2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい）です。
2本の辺とその間の角が決まると、辺の開き方が決まり、残りの1辺の長さも決まります。等しい角が間の角でないときは、形が1つに決まらないことがあるので、合同とは言い切れない場合があります。
【練習問題】③
2つの三角形で、1本の辺の長さが同じでした。さらに、その辺の両端にある2つの角の大きさも、それぞれ同じでした。この2つの三角形は合同といえますか。理由もあわせて答えてください。
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答え：合同といえます。条件は一辺二角相当（1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい）です。
辺の両端から、それぞれ決まった角度で線を伸ばすと、2本の線は1点で交わります。条件が同じならその交点も同じ場所になるので、頂点の位置が決まり、三角形の形も決まります。
まとめ
「なんとなく同じ」ではなく、「絶対に同じ」と言えること。
その違いを支えているのが、合同条件というルールです。
辺や角に印をつけていくと、バラバラだった情報が少しずつつながっていきます。
根拠があるからこそ、自信を持って言い切れる。三角形の合同のおもしろいところは、そこにあると思います。