平行四辺形の対角線が「真ん中」で交わる理由
平行四辺形には、向かい合う辺や角が等しいという性質のほかに、もう1つ不思議な性質があります。
それは「対角線」に関するものです。
図のような平行四辺形ABCDがあります。
ここに頂点AとC、BとDを結ぶ2本の対角線を引いてみます。
すると、2本の線はちょうど真ん中の点（交点Oとします）で交わるのです。
「ちょうど真ん中」ということは、「AOとCOの長さは同じ」「BOとDOの長さも同じ」になるということ。
なぜそんなことが言えるのか、「平行」と「合同」の知識を使って考えてみます。
交点Oを囲む「小さな三角形」に注目
2本の対角線を引いた図を、もう一度よく見てください。
交点Oのまわりに、4つの小さな三角形ができましたね。そのうち、上下に向かい合っている三角形OABと三角形OCDに注目してみましょう。
この2つの三角形がぴったり重なる（合同である）ことが証明できれば、対角線のナゾも解けそうです。
錯角と「向かい合う辺が等しい」で合同になる
まず、角度に注目します。
辺ABと辺DCは平行なので、対角線を横切る「錯角」は同じ大きさになります。
グレーで示した角OABと角OCD、角OBAと角ODCが、それぞれ錯角のペアです。
これで「2組の角」が等しいことがわかりました。
ここでもう1つ、「平行四辺形の向かい合う辺の長さは等しい」という性質を使ってみます。
（平行四辺形の向かい合う辺と角が等しくなる理由）
すると、辺ABと辺DCの長さは等しいことがわかります。
整理すると、三角形OABと三角形OCDにおいて
- 1組の辺（ABとDC）が等しい
- その両端の角（錯角のペア）がそれぞれ等しい
「1組の辺」と、その辺の両端にある「2組の角」がそれぞれ等しいことになり、この2つの三角形は合同です。
（なぜ「合同」と言い切れる？三角形がピッタリ重なる3つの条件）
取り出して、重ねてみる
頭の中だけで考えるのが難しいときは、この2つの三角形を外に取り出してみましょう。
一方の三角形を180度くるっと回転させてみると、辺の長さも両端の角度もぴったり一致することがわかります。
「形も大きさも全く同じ」ということが、よりはっきりしますね。
対応する辺だから、同じ長さになる
2つの三角形が合同ということは、ぴったり一致します。
合同な三角形の、対応する辺（重なり合う辺）に注目してください。
- AOとCOはぴったり重なるので、同じ長さです。
- BOとDOはぴったり重なるので、同じ長さです。
「長さが同じ」ということは、交点Oはそれぞれの対角線（ACとBD）のちょうど真ん中にあるということです。
このことから、平行四辺形の対角線は、それぞれの中点で交わることが納得できます。
ポイント
- 対角線で分かれた上下（または左右）の小さな三角形に注目する
- 錯角と「向かい合う辺が等しい」ことから、2つの三角形は合同になる
- 合同な三角形の対応する辺（AOとCO、BOとDO）の長さは必ず等しくなる
練習問題
【練習問題】①
下の図の平行四辺形で、㋐の長さは何cmですか。
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答え：5cm
平行四辺形の対角線は、それぞれの真ん中（中点）で交わります。
交点Oは対角線ACの中点なので、AO（5cm）とCO（㋐）の長さは同じです。
AOが5cmなので、㋐も5cmになります。
【練習問題】②
下の図の平行四辺形で、対角線ACの長さは14cm、BDの長さは10cmです。㋐と㋑の長さはそれぞれ何cmですか。
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答え：㋐＝7cm、㋑＝5cm
交点Oは、対角線ACとBDのどちらの中点にもなっています。
㋐（AO）はACのちょうど半分なので、14÷2で7cmです。
㋑（BO）はBDの半分なので、10÷2で5cmです。
【練習問題】③
平行四辺形の対角線が真ん中で交わる（AO＝CO、BO＝DOになる）ことは、交点のまわりにできる2つの三角形が合同であることから説明できます。
この2つの三角形が合同だと言えるのは、どんなことが等しいからですか。
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答え：1組の辺と、その両端にある2組の角がそれぞれ等しいからです。
向かい合う三角形OABとOCDでは、平行四辺形の向かい合う辺ABとDCの長さが等しくなります。
さらにABとDCが平行なので、対角線を横切ってできる錯角が2組とも等しくなります。
1組の辺と、その両端の2組の角がそれぞれ等しいことから、三角形がピッタリ重なる合同の条件を満たします。
まとめ
最初はただの「交わった線」に見えていた対角線も、三角形に分けて考えることで「なぜ真ん中で交わるのか」が見えてきます。
図形では、すでに知っている性質を組み合わせると、新しい性質がすっと理解できるところが面白いですよね。