三角形の内角の和は180°
三角形の3つの角をすべて足すと、必ず180°になります。でも、なぜ180°になるのでしょう？
その理由は「平行線」と「錯角」にあります。
㋐ + ㋑ + ㋒ = 180°
三角形で最初に出てくるルールのひとつですが、「なぜ？」と聞かれると少し戸惑うところですよね。
実はこれ、三角形の頂点を通るように底辺と平行な補助線を1本引くだけで、すっきり理解できます。
子供の頃、算数の授業で「三角形の3つの角をハサミで切り取って、1点に集めて並べる」という実験をした記憶はありませんか？
バラバラの角をくっつけると、きれいな直線になります。当時は「へぇ〜、そうなんだ」と覚えていましたが、改めて考えてみると、そこには感覚だけではない「論理的な裏付け」があります。
ハサミを使わなくても、頭の中で補助線を1本引くだけで、180°になる理由が見えてきます。
補助線を引くと現れる錯角
3つの角を1か所に集めて考えるために、底辺と平行な線を補助線として引きます。
補助線を引いてみると「平行線の錯角（さっかく）」が現れます。錯角を使うと、三角形の下にある2つの角を補助線のところへ「移動させて考える」ことができます。
三角形の3つの角が、補助線という一直線の下にちょうど隙間なく並びました。
一直線は180°なので、そこに集まった三角形の角も、必然的に180°になります。
この考え方のいいところは、正三角形でも細長い三角形でも、どんな形であっても「補助線」さえ引けば同じ結論にたどり着けることです。
「180°だから覚えなさい」と言われるのと、「一直線に集まるから180°にしかならない」と知るのでは、図形の見え方がずいぶん変わってきます。
ポイント
- 三角形の頂点に、底辺と平行な線を引いてみる。
- 平行線の錯角を使うと、3つの角が一直線に集まる。
- 一直線＝180°だから、内角の和も180°になる！
練習問題
【練習問題】①
下の図で、角㋐は何度ですか？
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答え：75°
三角形の内角の和は180°なので、180° − 65° − 40° = 75°です。
【練習問題】②
下の図で、角㋐は何度ですか？
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答え：65°
直線の角度は180°なので、三角形の左下の内角は 180° − 110° = 70°です。三角形の内角の和は180°なので、180° − 70° − 45° = 65°になります。
110°は三角形の左下の頂点の外角でもあるので、スリッパの法則を使えば、110° − 45° = 65° と一発で求めることもできます。
【練習問題】③
下の図で、角㋓と等しい大きさの角はどれですか？
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答え：角㋐
補助線は底辺と平行に引かれています。角㋐と角㋓は、平行線にできる錯角の位置にある角どうしなので、大きさが等しいです。
まとめ
三角形の内角の和が180°になるのは、偶然ではありません。
頂点から底辺と平行な補助線を引くと、錯角によって3つの角が一直線に並びます。一直線は180°なので、内角の和も180°になる、という流れです。