長方形の面積はなぜ「たて×よこ」なの？
長方形の面積は「たて × よこ」で求められます。公式として覚えている人も多いと思います。
でも、よく考えると少し不思議です。なぜ「たし算」でも「ひき算」でもなく、たてとよこを「かける」と広さが出るのでしょうか。
そもそも「広さ（面積）」とは、何を表している数なのでしょう。そこから順番に見ていくと、「たて × よこ」がとても自然な式だと分かってきます。
広さは「1cm²のマス」が何個分か
長さは「1cmが何個分か」で測ります。それと同じで、広さは「1cm²のマスが何個分か」で測ります。
1cm²というのは、たて1cm・よこ1cmの小さな正方形の広さのことです。この「たてとよこの2方向に広がる」という作りがあるので、面積の単位は長さの単位とちがうとび方をします。
下の長方形を、この1cm²のマスでびっしり区切ってみます。
マスを数えると、ぜんぶで15マスあります。1マスが1cm²なので、この長方形の広さは15cm²ということになります。
つまり面積とは、たてやよこの長さそのものではなく、「1cm²のマスが何個分か」を表した数なんですね。
1つずつ数えなくても「たて×よこ」でまとまる
とはいえ、毎回マスを1つずつ数えるのは大変です。そこで、マスの並び方に注目してみます。
この長方形は、よこに5こ、たてに3こマスが並んでいます。「よこ5このまとまり」が、たてに3だんある、という形です。
だから、ぜんぶのマスの数は「3 × 5 ＝ 15」で一気に出せます。1つずつ数えなくても、たてとよこの数をかけるだけで、マスの数（＝面積）が分かります。
これが「長方形の面積 ＝ たて × よこ」の正体です。たてとよこをかけているのは、「マスが何だん × 何こ並んでいるか」を計算しているからです。
ポイント
・面積（広さ）は「1cm²のマスが何個分か」を表した数
・長方形は、マスが「たて○だん × よこ○こ」で並んでいる
・だから、たて × よこ でマスの数（＝面積）が出せる
正方形は「1辺×1辺」
正方形は、たてとよこの長さが同じ長方形です。
この正方形は、よこ5こ・たて5こで、どちらも同じ5こずつ並んでいます。だから面積は「5 × 5 ＝ 25」で、25cm²です。
たてとよこが同じなので、正方形の面積は「1辺 × 1辺」と書くこともあります。やっていることは長方形とまったく同じで、「たて × よこ」の特別な形です。
三角形や円も「長方形にして数える」
この「たて × よこ」は、長方形だけの話ではありません。じつは、ほかの図形の面積も、もとをたどると長方形のマス数えにつながっています。
たとえば三角形の面積や平行四辺形の面積は、形を切ったり並べ替えたりして、長方形に変身させて求めます。円の面積でさえ、細かく分けて長方形に近づけて考えます。
だから、長方形の「たて × よこ」が分かっていると、いろいろな図形の面積がぐっと分かりやすくなります。
練習問題
【練習問題】①
下の図の長方形の面積は何cm²ですか？
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答え：24cm²
長方形の面積は「たて × よこ」で求められます。たて3cm、よこ8cmなので、3 × 8 ＝ 24 で、24cm²になります。
【練習問題】②
下の図の正方形の面積は何cm²ですか？
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答え：36cm²
正方形は、たてとよこが同じ長方形です。1辺が6cmなので、6 × 6 ＝ 36 で、36cm²になります。
【練習問題】③
下の図の長方形は、面積が40cm²です。よこ㋐は何cmですか？
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答え：8cm
面積は「たて × よこ」なので、よこは「面積 ÷ たて」で求められます。面積40cm²、たて5cmなので、40 ÷ 5 ＝ 8 で、よこ㋐は8cmになります。
発展問題
ここからは、この記事の知識だけでは解けない、少し手数のかかる問題です。
【発展問題】①
下の図のような形があります。
(1) この形の面積は何cm²ですか？
(2) (1)と面積が同じ長方形を考えます。たてが9cmのとき、よこは何cmですか？
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答え：(1) 72cm² (2) 8cm
(1) この形は長方形ではないので、「たて × よこ」がそのままでは使えません。そこで、たてに線を1本引いて、長方形2つに分けてみます。
左側はたて8cm・よこ6cmなので、8 × 6 ＝ 48。右上はたて4cm・よこ6cmなので、4 × 6 ＝ 24。合わせて 48 ＋ 24 ＝ 72 で、72cm²です。
大きい長方形から欠けた分を引くやり方でも出せます。全体はたて8cm・よこ12cmで96cm²、欠けているのはたて4cm・よこ6cmで24cm²なので、96 － 24 ＝ 72 になります。
どちらのやり方でも同じ答えになるのは、面積が「1cm²のマスが何個分か」だからです。線を引いて分けても、引き算で数えても、マスの数そのものは変わりません。
(2) 面積が72cm²、たてが9cmと分かっているので、残るよこは逆算で出せます。72 ÷ 9 ＝ 8 で、よこは8cmです。
マスで見ると、9こずつのまとまりが横に何列並べば72こになるか、という数え方になります。たて × よこ ＝ 面積 の形を、そのまま逆にたどっているだけです。
まとめ
長方形の面積が「たて × よこ」で求められるのは、面積が「1cm²のマスが何個分か」だからでした。
マスは「たて○だん × よこ○こ」で並んでいるので、たてとよこをかけるだけで、マスの数（＝面積）が出せます。
正方形はたてとよこが同じなので「1辺 × 1辺」。やっていることは長方形と同じです。
広さを「マスの数」として見ると、たて × よこ がとても自然な式だと分かるのが、面白いところですね。