ひし形の対角線はなぜ垂直に交わる？図解で分かる「直角」の理由
こちらの図を見てください。
4つの辺の長さがすべて等しい四角形を、「ひし形」と呼びます。
ひし形は角度を変えれば細長くも横広にもなりますが、「4つの辺が等しい」という条件だけは変わりません。
この条件を守ると、2本の対角線は必ず垂直（90度）に交わります。
辺の長さをそろえただけで、なぜぴったり直角になるのでしょうか。
対角線でできる三角形に注目する
まずは、対角線によって分けられた三角形を見てみます。
ひし形は平行四辺形の仲間なので、「対角線は、それぞれ真ん中で交わる」という性質があります。
対角線ACとBDが交わる点をOとすると、BDはちょうど半分に分けられるため、BO＝DOになります。
ここで、△ABOと△ADOを比べてみましょう。
- ひし形なので、4つの辺はすべて等しい（AB＝AD）
- 対角線は真ん中で交わる（BO＝DO）
- AOは2つの三角形で共通している
3つの辺の長さがそれぞれ同じなので、この2つの三角形はピッタリ重なる「合同な三角形」です。
180度を同じ大きさで分ける
合同な三角形では、対応する角の大きさも同じになります。つまり、交点Oにできる角AOBと角AODは同じ大きさです。
対角線BDは一直線なので、その上の角度を合わせると180度になります。その180度を「同じ大きさの角2つ」で分けているので、
180度 ÷ 2 ＝ 90度
対角線はちょうど直角で交わることになります。
「辺の長さが等しい」という条件が合同な三角形をつくり、その結果として直角が生まれる、という流れです。
ポイント
- ひし形は、4つの辺の長さがすべて等しい四角形です。
- 対角線で分けると、合同な三角形ができます。
- 一直線の180度を同じ大きさで分けるため、対角線は90度で交わります。
練習問題
【練習問題】①
下の図のひし形で、2本の対角線が交わる点にできる角㋐は何度ですか？
タップで答えを見る
答え：90度
ひし形の2本の対角線は垂直に交わるので、交わる点にできる角は90度になります。
【練習問題】②
下の図のひし形ABCDで、角ABCは80°です。対角線BDをひくと、この角は2つに分けられます。㋐は何度ですか？
タップで答えを見る
答え：40度
対角線BDで分けてできる△ABDと△CBDは合同なので、対応する角の大きさも等しくなります。角ABCは対角線によってちょうど半分に分けられるので、80÷2で40度です。
【練習問題】③
下の図のひし形ABCDで、2本の対角線をひくと直角三角形ができます。その三角形の1つの角は35°です。㋐は何度ですか？
