三角形の高さは「外」にあってもいい！平行四辺形から考える高さの正体
「底辺 × 高さ ÷ 2」
三角形の面積の公式って、同じ形の三角形をひっくり返して2つ合わせるとできる平行四辺形の面積を半分にしたものなんです。
半分にするから、÷2なんです。
この仕組みが分かると、公式の意味がすっと見えてきますよね。
でも――
ちょっと形が崩れた三角形、たとえば頂点が横にズレた「鈍角三角形」になると、急に手が止まりませんか？
「え、高さどこ？」
「図形の中に線が引けないんだけど……」
そんなふとした違和感を、今回は「平行四辺形」の力を借りてスッキリさせていきます。
いったん「平行四辺形」に戻してみる
今、目の前にある「高さがどこか分からない三角形」を、もう一つ用意して合体させてみます。
三角形の面積を出すには、まず「復元した平行四辺形の面積」が分かればいいわけです。
すると、こんなふうに平行四辺形ができあがります。
平行四辺形の面積は「底辺 × 高さ」で出せますよね。
じゃあ、この「高さ」さえ分かれば、元の三角形の面積も出せるはずです。
「高さ」の正体は、どこで測っても変わらない垂直な距離
平行四辺形の高さとは、底辺と、それに平行な上の辺のあいだを"まっすぐ（垂直）"に結んだ長さのことです。
平行線どうしは、どこで測っても同じ間隔になります。
だから、わざわざ図形の中に定規を差し込まなくても、底辺の線を外側に伸ばして、そこで「垂直な距離」を測っても、高さの数値は変わらないんです。
三角形の中にうまく垂直な線が引けない場合は、高さが外に出るのはむしろ自然なことなんです。
「三角形の高さが外にある」というあの不思議な感覚。
それは、平行線の間隔を測るために、「測りやすい場所」に垂直な線を引いていただけの状態だったんですね。
三角形になっても「高さの正体」は変わらない
最後は、合体させた平行四辺形をもう一度半分に割って、三角形に戻してみます。
形が三角形になっても、高さは1ミリも変わりません。
この図を見てください。
底辺㋐㋑を右側に点線で伸ばして、てっぺん㋒から真っ直ぐ下ろした垂直な線㋒㋔。これがこの三角形の「高さ」です。
高さは辺の一つではなく、底辺という基準線から、てっぺんという地点がどれだけ離れているかを表す長さのことです。
そう考えると、外に飛び出した高さの点線も、「平行線の間隔を測るために、外側に線を引いているだけなんだな」と自然に納得できる気がします。
ポイント
- 三角形を2つ合体させると平行四辺形になります。
- 平行四辺形の高さは、底辺と、それに平行な辺を垂直に結んだ最短距離です。
- 平行線の幅はどこでも一定なので、高さを測る場所は「外側」でも構いません。
練習問題
【練習問題】①
下の図で、三角形の高さを表しているのは㋒㋓と㋒㋑のどちらの線ですか？
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答え：㋒㋓
高さは、底辺㋐㋑に垂直に結んだ距離のことです。㋒㋓は底辺に垂直で、㋓に直角の印がついています。㋒㋑は三角形の辺で、底辺には垂直になっていません。
【練習問題】②
下の図は、頂点㋒が横にずれた三角形です。底辺を㋐㋑とするとき、この三角形の高さは、図形の内側と外側のどちらにできますか？
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答え：外側
頂点㋒から底辺㋐㋑へ垂直な線を下ろすと、その足は㋐㋑をのばした延長線の上（図形の外）にきます。高さは底辺からの垂直な距離なので、測る場所が外側になっても長さは変わりません。
【練習問題】③
下の図の三角形で、底辺㋐㋑は6cm、外に出た高さは4cmです。この三角形の面積は何c㎡ですか？
発展問題
ここからは、この記事の内容だけでは解けない、ほかの記事の考え方も使う問題です。
【発展問題】①
下の図で、上下の2本の直線は平行です。三角形㋐㋑㋓の面積が40c㎡のとき、三角形㋑㋒㋓の面積は何c㎡ですか？
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答え：24c㎡
手がかりは「2本の直線が平行」というところです。㋓は2つの三角形に共通する頂点で、底辺はどちらも下の直線の上にあります。
平行な直線の間隔はどこで測っても同じなので、㋓から下の直線までの高さは、2つの三角形で共通です。三角形㋐㋑㋓は底辺が10cmで面積が40c㎡なので、高さは 40×2÷10＝8cm と分かります。三角形㋑㋒㋓は底辺が6cm、高さは同じ8cmなので、6×8÷2＝24c㎡ になります。
高さは底辺という基準線から頂点までの距離で、㋓の位置は動いていません。底辺を㋐㋑から㋑㋒に取り替えても、㋓までの距離は変わらないので、同じ高さをそのまま使えます。高さが同じ三角形は面積が底辺の比で決まるので、10対6から40対24と出すこともできます。
【発展問題】②
下の図の三角形㋐㋑㋒で、底辺を㋐㋑としたときの高さは6cmです。
(1) この三角形の面積は何c㎡ですか？
(2) 辺㋑㋒を底辺と見たとき、高さは何cmになりますか？
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答え：(1) 24c㎡ (2) 4cm
(1) 見るのは底辺㋐㋑と高さ㋒㋓です。高さの足㋓は㋐㋑をのばした延長線の上にありますが、高さは底辺からの垂直な距離なので、外に出ていても6cmのまま使えます。8×6÷2＝24c㎡ です。
(2) 底辺を辺㋑㋒に取り替えても、三角形そのものは変わらないので、面積は(1)で出した24c㎡のままです。底辺が12cm、面積が24c㎡と分かっているので、高さは逆算で出せます。24×2÷12＝4cm です。
同じ三角形でも、どの辺を底辺と見るかで高さは変わります。底辺が8cmから12cmへ長くなった分、高さは6cmから4cmへ短くなり、かけて2でわった答えは24c㎡でそろいます。㋐から辺㋑㋒へ垂直な線を引くと、その線は三角形の内側にきます。
まとめ
三角形の高さが図形の外側に出る場合、一見すると不自然に感じるかもしれません。
でも、「高さ＝内側にあるパーツ」という見方を外して、「高さ＝平行な線の間隔」ととらえ直すと、自然に理解できます。
底辺を延長して、その外側に垂直な線を引く。それは、平行線の間隔を測るために必要な操作で、高さの数値自体は変わりません。
今まで「なんか変だな」と感じていた場面も、そう考えると少しすっきりしてくるかもしれません。